[Алехин почувствовал, (что его рассматривают), и вполголоса запел по-русски, (чтобы стоящий за дверью понял, (что он не переодетый фашист)).]
Запятая 1 ставится перед придаточным изъяснительным, присоединённым союзом ЧТО: почувствовал (что?) что его рассматривают.
Запятая 2 ставится, потому что здесь заканчивается придаточное изъяснительное что его рассматривают и продолжается главная часть: Алехин почувствовал … и вполголоса запел по-русски.
Запятая 3 не ставится: одиночный союз И соединяет однородные сказуемые главной части почувствовал и запел. Запятая перед самим союзом И здесь не требуется; запятая в позиции 2 нужна только для закрытия предшествующего придаточного.
Запятая 4 ставится перед придаточным цели, присоединённым союзом ЧТОБЫ: запел (зачем? с какой целью?) чтобы стоящий за дверью понял...
Запятая 5 ставится перед придаточным изъяснительным, которое зависит от сказуемого понял: понял (что?) что он не переодетый фашист.
Здесь наблюдается последовательное подчинение: придаточное что он не переодетый фашист зависит от придаточного цели чтобы стоящий за дверью понял....