Водитель, НЕ УСПЕВАЮЩИЙ проехать перекрёсток на разрешающий сигнал светофора, должен остановиться перед перекрёстком. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимое слово проехать (не успевающий что сделать? проехать).
Короткое знакомство нисколько НЕ МЕШАЛО нам разговаривать по-дружески. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как глагол мешать употребляется без НЕ. Кроме того, отрицательное наречие нисколько усиливает отрицание.
За НЕВЫПОЛНЕНИЕ условий контракта предусмотрена материальная ответственность сторон. — существительное; НЕ пишется слитно, так как слово обозначает единое понятие и можно подобрать близкий по смыслу синоним без НЕ — «нарушение». Противопоставления нет.
Воздух едва колышется над НЕМОЩЁНОЙ песчаной дорогой. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ — «грунтовой». Противопоставления и слов, усиливающих отрицание, нет; слово песчаной относится к существительному дорогой.
За тысячелетия ни на миг НЕ ПРЕРЫВАЛАСЬ волшебная нить языка. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как глагол прерываться употребляется без НЕ. Сочетание ни на миг усиливает отрицание.