Люди, НЕ ВИДЕВШИЕ нашей зимы, вряд ли поймут русский характер. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимые слова нашей зимы (не видевшие чего? нашей зимы).
Косо тянулись НЕОСТЫВШИЕ вечерние тени. — полное причастие; НЕ пишется слитно, так как при причастии нет зависимых слов и противопоставления. Слово вечерние относится к существительному тени, а не к причастию.
Есть слова, которым НЕ МЕСТО в официально-бытовой и научной сферах общения. — существительное; НЕ пишется раздельно, так как здесь выражается отрицание: этим словам нет места в названных сферах; слова неместо нет. В теории это предложение также дано с раздельным написанием.
За приготовлением к празднику НЕДОСМОТРЕЛИ, а концерт разочаровал всех присутствовавших. — глагол с приставкой НЕДО-; пишется слитно, так как обозначается недостаточность действия: недосмотрели = недостаточно проследили, допустили упущение. Не путать с не досмотрели фильм до конца, где действие просто не доведено до конца.
Изучение и сбережение русского языка является НЕ ПРАЗДНЫМ занятием, а насущной потребностью. — прилагательное; НЕ пишется раздельно, так как есть противопоставление с союзом а: не праздным занятием, а насущной потребностью.