Косо тянулись НЕОСТЫВШИЕ вечерние лучи солнца. — полное причастие; НЕ пишется слитно, так как при причастии нет зависимых слов и противопоставления. Слова вечерние и солнца относятся к существительному лучи.
НЕ ОСОЗНАВАЯ своего предназначения, герои пьес А. П. Чехова часто проживают свой век бессмысленно. — деепричастие; НЕ пишется раздельно, так как слово осознавая употребляется без НЕ, а с деепричастиями НЕ обычно пишется раздельно.
На траве сверкали капли НЕ ВЫСОХШЕЙ за утро росы. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимые слова за утро (не высохшей когда? за утро).
Люди они были хоть и НЕИМУЩИЕ, но образованные. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как слово имеет значение «бедные, не имеющие достатка». Союз но не создаёт противопоставления: признаки неимущие и образованные совместимы.
Бим НЕ СРАЗУ понял, что с ним произошло. — наречие; НЕ пишется раздельно, так как сразу не относится к наречиям на -о/-е, образующим с НЕ новое слово.