Жизнь прожить — НЕ ПОЛЕ перейти. — существительное; НЕ пишется раздельно, так как здесь выражается отрицание: жизнь нельзя приравнять к простому переходу через поле; нового слова с противоположным значением не образуется.
После Первой мировой войны Европа вышла покалеченной НЕ ТОЛЬКО физически, но и нравственно. — сочетание не только…, но и…; частица НЕ пишется раздельно.
Семья Ивановых была НЕ БОГАЧЕ своих соседей. — прилагательное в сравнительной степени; НЕ пишется раздельно. С формами сравнительной степени (не богаче, не лучше, не выше, не хуже) НЕ пишется раздельно.
Нельзя найти оправдания нашей чёрствости, нашей занятости, нашему НЕВНИМАНИЮ к своим родным и близким. — существительное; НЕ пишется слитно, так как образуется слово с противоположным значением — «отсутствие внимания»; можно подобрать близкий по смыслу синоним без НЕ — «равнодушие». Противопоставления нет.
Ребята, НЕ ТОРОПЯСЬ и болтая о своём, шли по узенькой тропке на речку. — деепричастие; НЕ пишется раздельно, так как слово торопясь употребляется без НЕ, а с деепричастиями НЕ обычно пишется раздельно.