[Однажды в Царском Селе медвежонок сорвал цепь со столба, (возле которого была устроена его будка), и побежал в сад].
Запятая 1 не ставится: сочетание однажды в Царском Селе является обстоятельством и не требует обособления. Грамматическая основа главной части — медвежонок сорвал и побежал.
Запятая 2 ставится перед придаточным определительным, которое относится к слову столба: столба (какого?) возле которого была устроена его будка. Придаточная часть присоединяется союзным словом КОТОРОГО с предлогом ВОЗЛЕ.
Запятая 3 не ставится: сочетание возле которого целиком входит в придаточную часть и не разрывается запятой. Грамматическая основа придаточного — будка была устроена.
Запятая 4 ставится, потому что здесь заканчивается придаточное определительное возле которого была устроена его будка и продолжается главная часть: медвежонок сорвал цепь со столба и побежал в сад.
Сказуемые сорвал и побежал — однородные и соединены одиночным союзом И, поэтому сама по себе запятая перед И не нужна; в позиции 4 она ставится именно для закрытия придаточного предложения.