[Соседство с комнатами несчастной королевы, (судьба которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов), нередко заставляло Дашкову думать о бренности земного величия].
Запятая 1 ставится перед придаточным определительным, которое относится к слову королевы: королевы (какой?) судьба которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов. Придаточная часть присоединяется союзным словом КОТОРОЙ.
Запятая 2 не ставится. Союзное слово КОТОРОЙ находится не в начале придаточной части: она начинается со слова судьба. Поэтому граница главной и придаточной частей проходит в позиции 1, а не непосредственно перед которой.
Запятая 3 не ставится: грамматическая основа придаточной части — судьба воспламеняла. Союзное слово которой является определением при слове судьба, поэтому сочетание судьба которой не отделяется от сказуемого воспламеняла.
Запятая 4 ставится, потому что здесь заканчивается придаточное определительное судьба которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов и продолжается главная часть: соседство с комнатами несчастной королевы нередко заставляло Дашкову думать о бренности земного величия.
Придаточное находится внутри главной части, поэтому выделяется с двух сторон запятыми 1 и 4.