[Сердце доктора сильно и учащённо билось], и, (чтобы успокоиться), [он стал вспоминать], (каким удачным было начало дня).
Запятая 1 ставится между частями сложносочинённого предложения, соединёнными одиночным союзом И: сердце билось, и он стал вспоминать.
Запятая 2 ставится на стыке сочинительного союза И и подчинительного союза ЧТОБЫ. Придаточное чтобы успокоиться можно изъять без нарушения структуры предложения: сердце билось, и он стал вспоминать... Поэтому между союзами И, ЧТОБЫ ставится запятая.
Запятая 3 ставится, потому что здесь заканчивается придаточное цели: стал вспоминать (зачем? с какой целью?) чтобы успокоиться. Придаточная часть стоит внутри второй главной части и обособляется с двух сторон.
Запятая 4 ставится перед придаточным изъяснительным, которое зависит от сказуемого стал вспоминать: стал вспоминать (что?) каким удачным было начало дня. Придаточное присоединяется союзным словом КАКИМ.
Схема: [главное], и, (придаточное цели), [главное], (придаточное изъяснительное).