[После экзамена мы подождали, (пока преподаватель объявит отметки), и, обрадованные тем, (что никто не провалился), шумно вырвались на улицу].
Запятая 1 не ставится: сочетание после экзамена является обстоятельством времени и не требует обособления.
Запятая 2 ставится перед придаточным времени, присоединённым союзом ПОКА: подождали (до какого момента?) пока преподаватель объявит отметки.
Запятая 3 ставится, потому что здесь заканчивается придаточное пока преподаватель объявит отметки и продолжается главная часть. Сказуемые подождали и вырвались относятся к одному подлежащему мы и соединены одиночным союзом И. Запятая перед И здесь нужна не между однородными сказуемыми, а для закрытия придаточного предложения.
Запятая 4 ставится перед придаточным изъяснительным, которое зависит от сочетания обрадованные тем: обрадованные тем (чем именно?) что никто не провалился. Придаточное присоединяется союзом ЧТО.
Запятая 5 ставится, потому что здесь одновременно заканчивается придаточное изъяснительное что никто не провалился и обособленный оборот обрадованные тем, что никто не провалился, относящийся к подлежащему мы.
Структура предложения: [главная часть с однородными сказуемыми: мы подождали … и вырвались], внутри неё — придаточное времени; во второй части главного предложения есть обособленный оборот, внутри которого находится придаточное изъяснительное.