[Пришлось бы написать ещё одну книгу], (чтобы подробно рассказать о том, (как была найдена экспедиция капитана Татаринова)).
Запятая 1 не ставится: сочетание ещё одну книгу является дополнением при сказуемом пришлось бы написать; оснований для обособления нет.
Запятая 2 ставится перед придаточным цели, присоединённым союзом ЧТОБЫ: пришлось бы написать книгу (зачем? с какой целью?) чтобы подробно рассказать...
Запятая 3 не ставится: сочетание рассказать о том входит в одну придаточную часть; предлог О связан с указательным словом ТОМ.
Запятая 4 ставится перед придаточным изъяснительным, которое раскрывает содержание указательного слова ТОМ: рассказать о том (о чём именно?) как была найдена экспедиция капитана Татаринова. Придаточная часть присоединяется союзным словом КАК.
Запятая 5 не ставится: грамматическая основа придаточной части — экспедиция была найдена; между сказуемым была найдена и подлежащим экспедиция запятая не требуется.
Здесь наблюдается последовательное подчинение: придаточное как была найдена экспедиция капитана Татаринова зависит от придаточного цели чтобы подробно рассказать о том...