Числа — это язык математики. Они позволяют описывать количество, порядок, измерения и многое другое.
Классификация чисел
Натуральные числа (ℕ) — это числа для счёта предметов: 1, 2, 3, 4…
Важно! Ноль не является натуральным числом.
Целые числа (ℤ) включают натуральные, им противоположные и ноль: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…
Рациональные числа (ℚ) — числа, представимые в виде дроби m/n, где m ∈ ℤ, n ∈ ℕ.
Примеры:
- 5 = 5/1;
- 0.25 = 1/4;
- 0.333… = 1/3.
Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби m/n. Их десятичная запись бесконечная и непериодическая.
Примеры:
- √2 ≈ 1.41421356…
- π ≈ 3.14159265…
- e ≈ 2.71828182…
Действительные числа (ℝ) — объединение рациональных и иррациональных чисел.
Базовые арифметические операции и их свойства
1. Сложение (+)
Определение: объединение двух или более чисел в одно (сумму).
Свойства:
- Коммутативность: a + b = b + a.
Пример: 3 + 5 = 5 + 3 = 8. - Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c).
Пример: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9. - Нейтральный элемент: a + 0 = a.
Пример: 7 + 0 = 7. - Обратный элемент: a + (–a) = 0.
Пример: 5 + (–5) = 0.
2. Вычитание (−)
Определение: обратная операция к сложению.
Свойства:
- Некоммутативность: a – b ≠ b – a (кроме случая a = b).
Например, 8 – 3 = 5, но 3 – 8 = –5. - Неассоциативность: (a – b) – c ≠ a – (b – c).
Например, (10 – 3) – 2 = 5, но 10 – (3 – 2) = 9. - Нейтральный элемент: a – 0 = a.
Например, 12 – 0 = 12.
3. Умножение (× или ·)
Определение: кратное сложение одинаковых слагаемых.
Свойства:
- Коммутативность: a × b = b × a.
Например, 4 × 6 = 6 × 4 = 24. - Ассоциативность: (a × b) × c = a × (b × c).
Например, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24. - Дистрибутивность: a × (b + c) = a × b + a × c.
Например, 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 27. - Нейтральный элемент: a × 1 = a.
Например, 9 × 1 = 9. - Нулевой элемент: a × 0 = 0.
Например, 7 × 0 = 0.
4. Деление (÷ или /)
Определение: обратная операция к умножению.
Свойства:
- Некоммутативность: a ÷ b ≠ b ÷ a (кроме случая a = b).
Например, 12 ÷ 3 = 4, но 3 ÷ 12 = 0,25. - Неассоциативность: (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c).
Например, (24 ÷ 6) ÷ 2 = 2, но 24 ÷ (6 ÷ 2) = 8. - Нейтральный элемент: a ÷ 1 = a.
Например, 15 ÷ 1 = 15. - Деление на ноль: не определено.
Порядок выполнения арифметических операций
Подробная схема приоритетов:
1. Операции в скобках.
Сначала вычисляем выражения внутри скобок:
- круглые ( );
- квадратные [ ];
- фигурные { }.
2. Возведение в степень и извлечение корня.
3. Умножение и деление (равноправны, выполняются слева направо).
4. Сложение и вычитание (равноправны, выполняются слева направо).
Примеры с пошаговым решением
Пример 1: без скобок
8 + 3 × 4 – 12 ÷ 3
- Умножение и деление: 3 × 4 = 12, 12 ÷ 3 = 4.
- Получаем: 8 + 12 – 4.
- Сложение и вычитание: 8 + 12 = 20, 20 – 4 = 16.
Ответ: 16.
Пример 2: со скобками
(15 – 3) × 2 + 18 ÷ (4 + 2)
- Скобки: (15 – 3) = 12, (4 + 2) = 6.
- Получаем: 12 × 2 + 18 ÷ 6.
- Умножение и деление: 12 × 2 = 24, 18 ÷ 6 = 3.
- Сложение: 24 + 3 = 27.
Ответ: 27.
Пример 3: множественные скобки
{20 – [8 + (6 – 2) × 3]} ÷ 2
- Внутренние скобки: (6 – 2) = 4.
- Квадратные скобки: 8 + 4 × 3 = 8 + 12 = 20.
- Фигурные скобки: 20 – 20 = 0.
- Деление: 0 ÷ 2 = 0.
Ответ: 0.
Пример 4: степени и корни
5² + √16 × 3 – 8 ÷ 2
- Степень и корень: 5² = 25, √16 = 4.
- Получаем: 25 + 4 × 3 – 8 ÷ 2.
- Умножение и деление: 4 × 3 = 12, 8 ÷ 2 = 4.
- Сложение и вычитание: 25 + 12 = 37, 37 – 4 = 33.
Ответ: 33.
Типичные ошибки и как их избежать
Ошибка: 8 + 3 × 2 = 11 × 2 = 22.
Правильно: 8 + 3 × 2 = 8 + 6 = 14.
Ошибка: 12 ÷ 2 × 3 = 12 ÷ 6 = 2.
Правильно: 12 ÷ 2 × 3 = 6 × 3 = 18 (слева направо!).
Ошибка: 5 + (3 × 2 – 1) = 5 + 3 × 1 = 8.
Правильно: 5 + (3 × 2 – 1) = 5 + (6 – 1) = 5 + 5 = 10.
Практические советы
- Всегда начинай с операций в скобках.
- Помни о равноправии умножения / деления и сложения / вычитания.
- При равном приоритете выполняй операции слева направо.
- Проверяй каждый шаг вычислений.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
