Как решить логарифмическое уравнение за 3 шага
Логарифмическим называется уравнение, в котором неизвестное (x) стоит внутри аргумента логарифма. Простейший вид такого уравнения:
$\log_a f(x) = b$
где:
- a — основание логарифма (a > 0, a ≠ 1).
- f(x) — аргумент логарифма (f(x) > 0).
- b — некоторое число.
Основной алгоритм решения за 3 шага
Решение любого уравнения вида $\log_a f(x) = b$ строится на прямом следствии из определения логарифма.
Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Прежде чем что-то решать, необходимо записать условия, при которых все логарифмы в уравнении имеют смысл.
- Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: a > 0, a ≠ 1.
- Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: f(x) > 0.
Шаг 2: Переход к равносильному уравнению
Используем ключевую формулу, которая является определением логарифма:
$\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b$
Таким способом мы просто «сбрасываем» логарифм, возводя его основание в степень, равную правой части уравнения.
Шаг 3: Решение полученного уравнения и проверка корней.
Решаем получившееся (обычно более простое) уравнение $f(x) = a^b$. После нахождения корней обязательно проверяем их на соответствие ОДЗ (условию f(x) > 0). Те корни, которые не удовлетворяют ОДЗ, являются посторонними и должны быть отброшены.
Разберём на примерах
Пример 1 (Базовый).
Решите уравнение: $\log_3 (x − 2) = 2$.
- ОДЗ: Аргумент должен быть положительным: x − 2 > 0 ⇒ x > 2.
- Переход: По определению логарифма: $x − 2 = 3^2$.
- Решение: x − 2 = 9 ⇒ x = 11.
- Проверка: Корень x = 11 удовлетворяет условию ОДЗ (11 > 2).
Ответ: 11.
Пример 2 (С логарифмом по дробному основанию).
Решите уравнение: $\log_{\frac{1}{2}} (4 — 5x) = -3$.
- ОДЗ: 4 − 5x > 0 ⇒ -5x > -4 ⇒ x < 0,8.
- Переход: $4 — 5x = (\frac{1}{2})^{-3}$. Помним, что $(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$.
- Решение: 4 − 5x = 8 ⇒ -5x = 4 ⇒ x = -0,8.
- Проверка: Корень x = -0,8 удовлетворяет ОДЗ (-0,8 < 0,8).
Ответ: -0,8.
Пример 3: Использование свойства степени логарифма.
Часто уравнение можно упростить, «занеся» числовой коэффициент в степень аргумента или, наоборот, «вынеся» степень из под логарифма.
Свойство: $p \cdot \log_a f(x) = \log_a (f(x))^p$.
Решите уравнение: $2 \cdot \log_4 (x + 3) = 3$.
- ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положительным:
x + 3 > 0
x > -3 - Используем свойство: $p \cdot \log_a b = \log_a (b^p)$
$2 \cdot \log_4 (x + 3) = \log_4 ((x + 3)^2)$
Теперь наше уравнение принимает вид:
$\log_4 ((x + 3)^2) = 3$ - По определению логарифма:
$(x + 3)^2 = 4^3$
$(x + 3)^2 = 64$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
x + 3 = 8 или x + 3 = -8
$x_1 = 5$
$x_2 = -11$ - Проверяем корни по ОДЗ
x = 5: 5 > -3 — подходит
x = -11: -11 > -3 — не подходит
Ответ: 5.
Важное замечание: Будь осторожнее, когда «выносишь» чётную степень. Например, решая уравнение $\log_3 (x — 1)^2 = 4$, мы получим $(x — 1)^2 = 3^4 = 81$, откуда $x — 1 = \pm 9$ и $x = 10$, $x = -8$. После проверки ОДЗ исходного уравнения $((x-1)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 1)$ оба корня будут верными. Всегда следи за тем, как меняется ОДЗ при преобразованиях.
Пример 4 (Логарифм равен логарифму).
Решите уравнение: $\log_3 (2x — 5) = \log_3 (3x — 8)$.
1. ОДЗ:
- 2x − 5 > 0
2x > 5
x > 2.5 - 3x − 8 > 0
3x > 8
x > 8/3
Объединяя эти два условия, получаем итоговую ОДЗ:
x > 8/3
2. Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их аргументы:
2x − 5 = 3x − 8
Решаем это линейное уравнение:
2x − 5 − 3x + 8 = 0
−x + 3 = 0
x = 3
Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень x = 3 условию ОДЗ (x > 8/3):
3 > 8/3 — верно.
Ответ: 3
3. Проверяем корень по ОДЗ
Пример 5: Уравнение с переменным основанием.
Решите уравнение: $\log_{(x+1)} (2x + 5) = 2$
- ОДЗ (здесь ключевой шаг!):
- Основание: x + 1 > 0 ⇒ x > -1
- Основание не равно 1: x + 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
- Аргумент: 2x + 5 > 0 ⇒ x > -2.5
- Объединяя все условия, получаем систему: x > -1, x ≠ 0. (Условие x > -2,5 поглощается условием x > -1).
- Переход по определению:
Используем формулу logₐ f(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ:
2x + 5 = (x + 1)² - Решение полученного уравнения:
2x + 5 = x² + 2x + 1
x² − 4 = 0
x₁ = 2, x₂ = 2. - Проверка по ОДЗ:
- x = 2 — удовлетворяет (2 > −1 и 2 ≠ 0).
- x = -2 — не удовлетворяет (-2 < -1).
Ответ: 2.
Типичные ошибки и на что обратить внимание на ЕГЭ
- Забыть про ОДЗ. Это самая распространённая ошибка. Всегда, даже в самом простом уравнении, держи в уме ограничения на аргумент.
- Не проверить основание. Если в задаче основание выражено через переменную (например, logₓ 4 = 2), для него тоже нужно писать условия (x > 0, x ≠ 1).
- Путать формулы. Помни, что logₐ (f(x) + g(x)) НЕ РАВЕН logₐ f(x) + logₐ g(x). А вот для логарифма произведения, частного или степени — свои правила, которые нужно знать твёрдо.
- Допустить ошибку в вычислениях. Будь внимательнее, особенно при работе с отрицательными степенями и дробями.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
