Введение
Задачи на движение по воде — классика школьной программы, которая регулярно встречается на экзаменах. На ОГЭ (задание № 23) они требуют развёрнутого решения с уравнениями, а на ЕГЭ (задание № 10) — умения быстро и точно составить математическую модель для нахождения одной из величин. Давай разберёмся с этой темой.
Наша стратегия основана на табличном методе, который исключает хаос в расчётах и позволяет системно вывести уравнение из любого условия.
Фундамент: как не запутаться в скоростях
Главное — разграничить три типа скоростей:
- Собственная скорость (Vс) — потенциал транспортного средства в неподвижной воде (например, в пруду).
- Скорость течения (Vт) — внешняя сила, которую диктует река.
- Результирующие скорости:
- по течению: Vпо теч = Vс + Vт (река «помогает»);
- против течения: Vпр теч = Vс – Vт (река «сопротивляется»).
Не забываем главную формулу пути:
$$S = v · t,$$
где S — путь, v — скорость, t — время.
Если собственной скорости в задаче нет, её удобно принять за x (переменную), вокруг которой будет строиться всё уравнение.
Структура твоей таблицы-помощницы:
| Маршрут | Расстояние (км) | Скорость (км/ч) | Время (ч) |
|---|---|---|---|
| По течению | |||
| Против течения | |||
| Ключевое условие | |||
Строка «Ключевое условие» — это связь между условием задачи и математическим уравнением.
Отработка заданий для ОГЭ (№ 23) с подробным решением
Здесь важно не просто найти ответ, но и грамотно оформить ход мыслей.
Задача 1 (классика с разницей во времени).
Теплоходу требуется на 1 час меньше, чтобы преодолеть 60 км по течению, чем 48 км против течения. Известно, что скорость течения составляет 4 км/ч. Требуется вычислить собственную скорость судна.
1. Структурируем данные.
Обозначим неизвестную собственную скорость как x км/ч.
| Маршрут | Расстояние (км) | Скорость (км/ч) | Время (ч) |
| По течению | 60 | x + 4 | 60/(x+4) |
| Против течения | 48 | x – 4 | 48/(x-4) |
| Ключевое условие | t против теч. – t по теч. = 1 ч | ||
2. Формируем и решаем уравнение.
Логика условия: время движения против течения больше. Запишем это:
$\frac{48}{(x-4)} — \frac{60}{(x+4)} = 1.$
Избавимся от дробей, умножив на общий знаменатель (x – 4)(x + 4):
$48(x + 4) – 60(x – 4) = 1(x² – 16);$
$48x + 192 – 60x + 240 = x² – 16;$
$–12x + 432 = x² – 16.$
Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:
$0 = x² + 12x – 448.$
3. Находим корни.
Вычисляем дискриминант:
$D = 12² – 4·1·(-448) = 144 + 1792 = 1936.$
Корень из дискриминанта: √1936 = 44.
Корни уравнения:
$x = \frac{(– 12 ± 44)}{2}.$
$x₁ = 16.$
$x₂ = –28$ — не имеет физического смысла.
Итоговый ответ: 16.
Задача 2 (фокус на общем времени).
Моторная лодка преодолела 36 км по течению и 24 км в обратном направлении, потратив на всю дистанцию 4 часа. Скорость течения — 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
1. Заполняем таблицу.
Переменная x — искомая собственная скорость.
| Маршрут | Расстояние (км) | Скорость (км/ч) | Время (ч) |
| По течению | 36 | x + 3 | 36/(x+3) |
| Против течения | 24 | x — 3 | 24/(x-3) |
| Ключевое условие | Сумма времён = 4 ч | ||
2. Работа с уравнением:
$\frac{36}{(x + 3)} + \frac{24}{(x – 3)} = 4.$
Поделим все части на 2 для упрощения вычислений:
$\frac{18}{(x + 3)} + \frac{12}{(x – 3)} = 2$
Умножаем на (x+3)(x-3):
$18(x – 3) + 12(x + 3) = 2(x² – 9);$
$18x – 54 + 12x + 36 = 2x² – 18;$
$30x – 18 = 2x² – 18.$
Упрощаем:
$30x = 2x²;$
$2x² – 30x = 0;$
$2x(x – 15) = 0.$
Это уравнение имеет два решения:
x = 0 (абсурдно) и x = 15.
Итоговый ответ: 15.
Тренируемся для ЕГЭ (№ 10): скорость и точность
В этом формате ценится умение быстро выйти на финальный результат.
Задача 1 (симметричный маршрут).
Теплоход совершает рейс: 96 км по течению и 96 км обратно. Его собственная скорость – 20 км/ч, а общее время в пути (без учета стоянок) – 10 часов. Определите скорость течения реки.
1. Анализ через таблицу. Пусть x км/ч — скорость течения.
| Маршрут | Расстояние (км) | Скорость (км/ч) | Время (ч) |
| По течению | 96 | 20 + x | 96/(20+x) |
| Против течения | 96 | 20 — x | 96/(20-x) |
| Ключевое условие | t туда + t обратно = 10 ч | ||
2. Составляем уравнение:
$\frac{96}{(20 + x)} + \frac{96}{(20 – x)} = 10.$
Делим на 2 для лёгкости:
$\frac{48}{(20 + x)} + \frac{48}{(20 – x)} = 5.$
Умножаем на (20 + x)(20 – x):
$48(20 – x) + 48(20 + x) = 5(400 – x²);$
$960 – 48x + 960 + 48x = 2000 — 5x²;$
$1920 = 2000 – 5x².$
Решаем:
$5x² = 80;$
$x² = 16;$
$x = 4\:и\:x = –4$ (отрицательное значение не рассматриваем).
Итоговый ответ: 4.
Задача 2 (комбинированный сюжет).
Плот проплывает 24 км за 6 часов. Катер, чья собственная скорость в 4 раза больше скорости течения, должен пройти 60 км по течению. Сколько времени у него на это уйдёт?
(без таблицы, как быстрый расчет):
1. Скорость течения = скорость плота = 24 км / 6 ч = 4 км/ч.
2. Собственная скорость катера = 4 * 4 км/ч = 16 км/ч.
3. Скорость катера по течению = 16 + 4 = 20 км/ч.
4. Искомое время = 60 км / 20 км/ч = 3 часа.
Итоговый ответ: 3.
Заключительный совет
Системный подход с таблицей превращает сложную текстовую задачу в чёткий алгоритм. Регулярная практика позволяет лучше понять логику составления уравнений и придаёт уверенности на экзамене. Пусть эти задачи станут для тебя не препятствием, а лёгким путём к надёжным баллам.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
