Производная: определение, геометрический смысл

Представь: лето, тепло, все экзамены позади и ты берёшь свой велосипед и с друзьями отправляешься кататься по парку Крылатские холмы… С большим усилием поднимаешься по дороге вверх, останавливаешься и любуешься видом на вершине, с лёгкостью и ветром в волосах спускаешься вниз и так много-много раз.

А теперь представь, что твой маршрут изобразили на листе бумаги и поместили в систему координат. Он выглядит примерно так:

Что ж, помечтали и хватит, пора возвращаться в реальность и посмотреть на полученный график сквозь призму изменения скорости. Чем круче подъём, тем медленнее ты поднимаешься. На вершине или в яме — велосипед останавливается. А на спуске может лететь очень быстро, если он крутой, а может медленнее, если спуск более пологий.

Примерно то же самое интересует физиков, химиков, биологов, экономистов и других узких специалистов, наблюдающих за каким-то явлением по графику. Нас с тобой будет интересовать поведение любого графика функции, задающегося уравнением y=f(x). А чтобы по графику сделать выводы о её поведении мы будем использовать производную этой функции y=f'(x).

Производная функции — показатель того, насколько быстро меняется функция. Задача — вычислить скорость этого изменения в конкретной точке.

Пусть наш велосипедист замер в какой-то точке своего пути. На графике это будет обозначаться как точка, имеющая координаты (x₀,y₀). Построим касательную к этой точке. Касательная — это прямая, а значит её всегда можно задать уравнением линейной функции y=kx+b.

Оказывается, значение производной в точке равно коэффициенту угла наклона касательной, которая проведена к этой точке.

Рассмотрим касательную, задающуюся уравнением прямой

$ y=kx+b, $

и восстановим его с помощью точек А (1; 0) и В (7; 5).

$ 0 = k+b; $

$ 5 = 7k+b; $

$ b = -k; $

$ 5 = 7k-k; $

$ 5 = 6k; $

$ k = \frac{5}{6}. $

Более того, сейчас мы посмотрим на производную с точки зрения геометра, который фиксирует две точки на касательной и проводит через них параллельные прямые до пересечения, тем самым получая прямоугольный треугольник, где часть касательной — гипотенуза, а катеты — отрезки параллельных осям координат прямых (или совпадающие с ними).

k — коэффициент угла наклона прямой. Как ты помнишь, это угол, который наша касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. На рисунке это угол BAC, назовём его . Так как наш велосипедист находится в точке с нецелыми координатами, то рассмотрим треугольник ABC, в котором угол остаётся всё тем же.

А чтобы его найти, обратимся к тригонометрии. Вспомни: tg равен отношению катетов, что, в свою очередь, полностью совпадает со строгим определением производной — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

$ tg= \frac{BC}{AC} = \frac{5}{6}. $

Таким образом:

Теперь рассмотрим всё это на примерах из экзамена.

Пример 1.

На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найди значение производной функции f(x) в точке x₀.

Следующий пример будет с проблемкой в виде того, что касательная образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс. В этом случае у тебя есть два варианта решения:

• вычисли значение коэффициента k, восстановив уравнение прямой-касательной. Помни, что когда функция убывающая, то значение будет отрицательным.
• также построй прямоугольный треугольник и вычисли значение тангенса для смежного с углом угла (180-α). Применив формулу приведения tg(180-α) = -tgα, получишь нужное значение для угла α.

Пример 2.

На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найди значение производной функции f(x) в точке x₀.

Пример 3.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найди количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −10 или совпадает с ней.

Пример 4.

На рисунке изображён график производной функции y = f(x). Найди количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x+1 или совпадает с ней.

Пример 5.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Найди корень уравнения f’(x) = 0.

Таким образом, у тебя есть два способа решать задания, связанные с геометрическим смыслом производной, а это поможет тебе качественно выполнить проверку и точно не допустить ошибку в задании экзамена.