Основы метода относительного перемещения
Центральная идея:
Относительная скорость демонстрирует, с какой интенсивностью изменяется дистанция между двумя перемещающимися объектами. Эта методика обладает универсальной применимостью для задач как ОГЭ, так и ЕГЭ.
Базовые положения:
1. Сближающееся движение объектов (встречное перемещение):
v_отн = v₁ + v₂.
2. Удаление объектов (движение в одном направлении):
v_отн = |v₁| – |v₂| (при v₁ > v₂).
3. Уравнение для определения времени встречи:
t = S_нач / v_отн.
Практический разбор: задачи с детальными решениями
Задача 1: Встречное движение с одновременным началом
Два велосипедиста начинают перемещение синхронно из пунктов A и B по направлению друг к другу. Исходная дистанция между пунктами равна 48 км. Первый движется со скоростью 15 км/ч, второй — 17 км/ч. Вычислите временной интервал до их встречи.
- Определение относительной скорости: 15 + 17 = 32 км/ч.
- Вычисление времени до встречи: 48 / 32 = 1,5 часа.
Итоговый ответ: 1,5 часа.
Задача 2: Последовательное движение с отставанием
Из населённого пункта N отправился автобус, поддерживающий скорость 60 км/ч. Спустя 45 минут по тому же маршруту начал движение автомобиль с крейсерской скоростью 90 км/ч. На какой дистанции от города N произойдёт встреча автомобиля с автобусом?
- Перевод времени: 45 мин = 0,75 часа.
- Расчёт первоначального расстояния: 60 * 0,75 = 45 км.
- Определение относительной скорости: 90 — 60 = 30 км/ч.
- Вычисление времени до встречи: 45 / 30 = 1,5 часа.
- Определение искомой дистанции: 90 * 1,5 = 135 км.
Итоговый ответ: 135 км
Задача 3: Циклическая трасса с различными стартовыми позициями
Два мотоциклиста начинают движение одновременно из диаметрально противоположных точек круговой трассы протяженностью 8 км. Первый поддерживает скорость 5,2 км/мин, второй — 4,8 км/мин. Вычислите временной промежуток, через который мотоциклисты окажутся рядом во второй раз.
- Стартовая дистанция: 8 / 2 = 4 км.
- Относительная скорость: 5,2 — 4,8 = 0,4 км/мин.
- Время до первой встречи: 4 / 0,4 = 10 минут.
- Для второй встречи требуется преодоление полного круга: 8 / 0,4 = 20 минут.
- Суммарное время: 10 + 20 = 30 минут.
Итоговый ответ: 30 минут.
Задача 4: Движение с изменяющимися параметрами
Два железнодорожных состава перемещаются навстречу друг другу по параллельным путям. Протяженность первого состава — 420 м, второго — 280 м. Скорость первого — 54 км/ч, второго — 72 км/ч. Определите временной интервал для полного обгона одного состава другим.
- Перевод скоростей: 54 км/ч = 15 м/с, 72 км/ч = 20 м/с.
- Расчёт относительной скорости: 15 + 20 = 35 м/с.
- Суммарное расстояние для полного обгона: 420 + 280 = 700 м.
- Вычисление времени: 700 / 35 = 20 секунд.
Итоговый ответ: 20 секунд
Общий алгоритм
- Классифицируй тип движения (встречное, сонаправленное, циклическое).
- Проанализируй исходные условия (дистанция, временное отставание).
- Рассчитай относительную скорость по соответствующей формуле.
- Определи искомую величину через базовые соотношения.
Распространенные ошибки и профилактика:
- Ошибочный перевод единиц измерения — систематически проверяй их соответствие.
- Неверное определение знаков скоростей — применяй модули.
- Игнорирование длины объектов при обгоне — суммируй длины тел.
Для продуктивного применения метода относительного движения, систематически тренируйся на задачах различного уровня сложности, освой технику быстрого перевода единиц измерения, акцентируй внимание на задачах с многоэтапным движением и обязательно делай проверку.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
