Введение
Вспомни, какое арифметическое действие всегда отличается от остальных и любит всё усложнять? Возьмём те же дроби: на знаменателе ограничение; чтобы разделить обыкновенные дроби между собой, нужно «перевернуть» делитель; десятичную дробь вообще нельзя делить на десятичную дробь, и нужно делать переход к натуральному делителю!
Операция деления… вот такая она. В производных она тоже не стала изменять своим принципам…
Производная деления функций
Пусть есть некоторые элементарные функции $ f(x) $ и $ g(x) $ и $ q(x) = f(x) : g(x) = \frac{f(x)}{g(x)}. $ Если вдруг ты думаешь, что при делении функций просто нужно взять производную от каждой из них и поделить, то нет. Невероятно, но по определению производной формулируется следующее правило деления:
$$ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2},\ g(x) \neq 0$$
Числитель похож на правило умножения, но со знаком «минус», а вот знаменатель безо всякой производной возводится в квадрат. Если не веришь, распиши по определению через приращение и убедись в этом. А после приступай к рассмотрению примеров!
Пример 1. Вычислить производную функции $(f(x)=\frac{1}{x}.$
Ты, конечно, уже знаешь ответ, но давай воспользуемся правилом деления, чтобы убедиться в нём?
$(f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)’=\frac{1’\cdot x-1\cdot x’}{x^{2}}=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}.$
Ответ: $-\frac{1}{x^{2}}.$
Пример 2. Вычислить производную функции $f(x)=\frac{x^2+4}{x}.$
Воспользуемся правилом деления
$f'(x) = \left( \frac{x^2+4}{x} \right)’ = \frac{(x^2+4)’ \cdot x — (x^2+4) \cdot x’}{x^2} = \frac{2x \cdot x — (x^2+4) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 — x^2 — 4}{x^2} = \frac{x^2 — 4}{x^2}.$
Ответ: $\frac{x^2 — 4}{x^2}.$
Пример 3. Вычислить производную функции $f(x) = \frac{6}{x^2} — 6x + 6.$
Воспользуемся правилами дифференцирования:
$f'(x) = \left( \frac{6}{x^2} — 6x + 6 \right)’ = \frac{6′ \cdot x^2 — 6 \cdot (x^2)’}{x^4} — 6 = \frac{0 — 6 \cdot 2x}{x^4} — 6 = -\frac{12x}{x^4} — 6 = -\frac{12}{x^3} — 6.$
Ответ: $-\frac{12}{x^3} — 6.$
Пример 4. Вычислить производную функции $f(x) = 6\tan x — 6x + \frac{6}{\pi}.$
Воспользуемся правилами дифференцирования, будем считать, что не помним чему равна производная тангенса и, конечно, не забудем, что — просто число:
$f'(x) = \left( 6 \operatorname{tg} x — 6x + \frac{6}{\pi} \right)’ = 6 \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)’ — 6 + 0 = 6 \frac{\sin x’ \cdot \cos x — \cos x’ \cdot \sin x}{\cos^2 x} — 6 \\ = 6 \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} — 6 = \frac{6}{\cos^2 x} — 6.$
Ответ: $\frac{6}{\cos^2x} — 6.$
Заключение
Остался всего один шаг и ты встретишься с боссом. Пойдём про сложную функцию поболтаем.
Автор:
Фролов Павел, методист «100балльного репетитора» по математике ЕГЭ
