Введение
Ты в одном шаге от покорения двенадцатого номера профильного ЕГЭ и осознания, зачем тебе нужно столько правил. Сейчас ты в очередной раз восхитишься крутостью производной.
Сложная функция
Что такое сложная функция? Простыми словами это когда одна функция вложена в другую. Например, пусть есть некоторые элементарные функции f(x) и g(x) и q(x) = f(g(x)) — читается как «функция f(x) от функции g(x)». Страшно? Не бойся. Давай теперь на конкретном примере: пусть
$f(x) = \ln x$,
$g(x) = x^2 — 1$,
тогда $q(x) = f(g(x)) = \ln (x^2 — 1)$.
Видишь, мы будто взяли и вложили функцию g(x) внутрь функции f(x). Это как тёплый пуховик, а внутри свитер. В таком случае f(x) — пуховик, а g(x) — свитер.
Производная сложной функции
Зимним днём ты приходишь со школы и начинаешь снимать сначала пуховик, а потом свитер. С производной сложной функции точно так же: сначала дифференцируем внешнюю функцию, потом внутреннюю, а после перемножаем результаты.
Для наших f(x) и g(x) и q(x) = f(g(x)) это правило записывается так (для удобства опустим все иксы):
$q’ = f'(g) \cdot g’$.
Первый шаг — понять, какая функция будет внешней, а какая внутренней. По аналогии с порядком действий: то действие, которое самое первое — внутренняя функция.
Пример 1. Вычислить производную функции $f(x) = \ln (x^2 — 1)$.
По порядку действий мы бы сначала вычисляли то, что стоит внутри логарифма, а именно значение $x^2 — 1$. Это будет нашим свитерком. А сам логарифм — пуховиком. По правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\ln (x^2 — 1))’ = \ln'(x^2 — 1) \cdot (x^2 — 1)’ = \frac{1}{x^2 — 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 — 1}$
Ответ: $\frac{2x}{x^2 — 1}$.
В этом примере мы сначала сняли пуховик — вычислили производную логарифма, а затем уже свитер — вычислили производную степенной функции (внутренности логарифма).
Пример 2. Вычислить производную функции $f(x) = (x^2 — 1)^5$.
По порядку действий мы бы сначала вычисляли то, что стоит внутри скобок, а именно значение $x^2 — 1$. Это будет нашим свитерком. А пятая степень — пуховиком. По правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (x^2 — 1)^5′ \cdot (x^2 — 1)’ = 5(x^2 — 1)^4 \cdot 2x = 10x , (x^2 — 1)^4$
Ответ: $10x (x^2 — 1)^4$.
Пример 3. Вычислить производную функции $f(x) = 3\ln(5x — 3)^8 — 63x + 12$.
Вот и пример, где сложная функция комбинируется с другими правилами дифференцирования. Более того, перед тобой не одно, а сразу два вложения функций: в логарифмическую вложена степенная функция, которая, в свою очередь, содержит линейную функцию. Всё делаем по порядку:
$f'(x) = (3\ln(5x — 3)^8 — 63x + 12)’ = 3 \cdot (\ln(5x — 3)^8)’ \cdot ((5x — 3)^8)’ \cdot (5x — 3)’ — 63 = 3 \cdot \frac{1}{(5x-3)^8} \cdot 8(5x — 3)^7 \cdot 5 — 63 = 120 \cdot \frac{1}{(5x-3)^8} \cdot (5x — 3)^7 — 63 = \frac{120}{5x-3} — 63$
Ответ: $\frac{120}{5x-3} — 63$.
Пример 4. Вычислить производную функции $f(x) = 3e^{2x} — 9e^x + 12$.
Вспомним основное правило, что производная $e^x$ равна $e^x$
$f'(x) = (3e^{2x} — 9e^x + 12)’ = 3e^{2x} \cdot (2x)’ — 9e^x = 6e^{2x} — 9e^x$
Ответ: $6e^{2x} — 9e^x$.
Заключение
Сложная функция и правда непростой математический объект. Если после прочтения и разборов примеров у тебя остались вопросы, воспользуйся следующими правилами и попробуй прорешать их заново:
- Всё, что отличается от простого «икс» — сложная функция, неважно, где этот «икс» находится;
- Представь, что ты подставляешь в «икс» конкретное число и расставь порядок действий. Он будет идти от внутренней функции к внешней.
Автор:
Фролов Павел, методист «100балльного репетитора» по математике ЕГЭ
