Введение
В разделе знакомства с таблицей производных, мы интуитивно усложнили свои элементарные функции умножением на число. И это логично, потому что табличные формулы в чистом виде встречаются на практике крайне редко, а накопленный опыт уже может подсказывать некоторые шаги. Теперь же разберёмся с вопросом умножения более подробно.
Умножение на число
Правило звучит так: если у элементарной функции есть постоянный числовой множитель, то он выносится за знак производной.
$(a \cdot f(x))’ = a \cdot f(x)’$
Пример 1. Вычислить производную функции $y = 7x^9$
По правилам дифференцирования степенной функции и вынесения числового множителя за знак производной $y’ = 7 \cdot 9x^{9-1} = 63x^8$
Ответ: $63x^8$.
Пример 2. Вычислить производную функции $y = 4\pi \cos x$
По правилам дифференцирования тригонометрической функции и вынесения числового множителя за знак производной получаем:
$y’ = 4\pi \cdot (\cos x)’ = -4\pi \sin x$
Ответ: $-4\pi \sin x$
Производная умножения функций
Пусть есть некоторые элементарные функции f(x) и g(x) и $q(x) = f(x) \cdot g(x)$. Если вдруг ты думаешь, что при перемножении функций просто нужно взять производную от каждой из них и умножить, то ты ошибаешься.
Невероятно, но по определению производной формулируется следующее правило умножения:
$(f(x) \cdot g(x))’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.
Пример 3. Вычислить производную функции $y = \sin x \cdot \cos x$.
По правилам дифференцирования тригонометрической функции и произведения получаем:
$y’ = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’ = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$.
Ответ: $\cos 2x$.
Пример 4. Вычислить производную функции $y = e^x \cdot \ln x$.
По правилам дифференцирования получаем:
$y’ = (e^x)’ \cdot \ln x + e^x \cdot (\ln x)’ = e^x \cdot \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\ln x + \frac{1}{x})$.
Ответ: $e^x (\ln x + \frac{1}{x})$.
Пример 5. Вычислить производную функции $y = 2\pi \sqrt[3]{x^2} \cos x$.
Обрати внимание, что $\pi$ — константа, это такое же число как и все остальные. По правилам дифференцирования получаем:
$y’ = 2\pi \left( \sqrt[3]{x^2} \right) \cdot \cos x + 2\pi \left( \sqrt[3]{x^2} \right) \cdot (\cos x)’ = 2\pi \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}-1} \cdot \cos x + 2\pi \left( \sqrt[3]{x^2} \right) \cdot (-\sin x) = 2\pi \left( \frac{2}{3} \sqrt{x} \cos x — \sqrt[3]{x^2} \sin x \right)$
Ответ: $2\pi \left( \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \cos x — \sqrt[3]{x^2} \sin x \right)$.
Заключение
Согласись, становится уже интереснее? Поверь, дальше будет ещё лучше, а пока запоминай формулы, правила и практикуйся.
Автор:
Фролов Павел, методист «100балльного репетитора» по математике ЕГЭ
