НЕ СУМЕВШИЙ реализовать себя в жизни, Базаров проявляет свои лучшие качества перед лицом смерти. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимые слова: сумевший что сделать? реализовать себя в жизни.
Ключи до сих пор НЕ НАЙДЕНЫ. — краткое страдательное причастие; НЕ пишется раздельно, так как с краткими причастиями НЕ всегда пишется раздельно.
Дом у Петровых НЕБОЛЬШОЙ, но очень уютный. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ — «маленький». Союз но здесь не выражает противопоставления: признаки небольшой и уютный вполне совместимы.
Брат НЕ УДОСТОИЛ его даже упрёком. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как глагол удостоить употребляется без НЕ. С большинством глаголов НЕ пишется раздельно.
Когда смотришь на памятник М. Ю. Лермонтову, НЕВОЛЬНО складывается впечатление, что поэт оглядывает любимый город и вспоминает счастливые минуты жизни. — наречие; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ: «непроизвольно». Противопоставления и слов, усиливающих отрицание, нет.