В этом фрагменте слышится НЕ ОБЫКНОВЕННАЯ мелодия, а полный трагизма финал. — прилагательное; НЕ пишется раздельно, так как в предложении есть противопоставление с союзом а: отрицается представление об обыкновенной мелодии и утверждается другое — полный трагизма финал.
Месяца на небе НЕ БЫЛО, а звёзды ярко светились. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как глагол быть употребляется без НЕ. С глаголами НЕ обычно пишется раздельно.
НЕОБЫЧАЙНО тихо было в горах и на безбрежных пляжах у моря. — наречие; НЕ пишется слитно: необычайно имеет значение «чрезвычайно, исключительно». Противопоставления и усиленного отрицания нет.
Если в почве НЕДОСТАЁТ каких-то микроэлементов, урожай резко снижается. — глагол; пишется слитно, так как недостаёт имеет значение «не хватает, имеется в недостаточном количестве». Здесь выражается недостаточность, поэтому используется НЕДО-.
Некоторые слова в тексте были написаны НЕ ПО-РУССКИ. — наречие, пишущееся через дефис; НЕ пишется раздельно: не по-русски, не по-доброму, не по-товарищески.