Его ответ был НЕПОЛНЫМ, но оригинальным. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ — «частичным». Союз но не выражает противопоставления: признаки неполный и оригинальный совместимы.
Пение красногрудых снегирей, НЕ ЛИШЁННОЕ какой-то приятной мелодии, раздавалось с оголённых веток сада. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимые слова какой-то приятной мелодии: не лишённое чего? мелодии.
Несмотря на всё НЕСХОДСТВО наших взглядов на жизнь, нас сблизила любовь к музыке. — существительное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ — «различие». Противопоставления нет.
НЕДОГОРЕВШАЯ с вечера свеча сильно чадила. — причастие; пишется слитно, так как в слове есть приставка НЕДО-, обозначающая неполноту действия: недогоревшая = сгоревшая не полностью, не до конца. Не путать с раздельным НЕ, когда просто отрицается действие.
Бим НЕ СРАЗУ понял, что с ним произошло. — наречие; НЕ пишется раздельно, поскольку сразу не относится к наречиям на -о/-е, для которых возможно слитное написание с НЕ.