Режиссёр НЕ ПЕРЕСТАЁТ удивлять своими работами. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как глагол переставать употребляется без НЕ. С глаголами НЕ обычно пишется раздельно.
НЕ ПРОВЕРЕННЫЕ ещё глубины океана хранят в себе тайны. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимое слово ещё. В теории приведена аналогичная модель: ещё не написанное сочинение.
Отчёты НЕ ПОДПИСАНЫ. — краткое страдательное причастие; НЕ пишется раздельно, так как с краткими причастиями НЕ пишется раздельно.
Последний параграф остался НЕВЫУЧЕННЫМ. — полное причастие; НЕ пишется слитно, так как при причастии нет зависимых слов и противопоставления.
Алексей прочитал в глазах одноклассницы НЕПОДДЕЛЬНУЮ грусть. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ — «искреннюю», «настоящую». Противопоставления и слов, усиливающих отрицание, нет.