Бабушка, НЕСМОТРЯ НА преклонный возраст, отлично видит и слышит. — производный предлог; НЕ пишется слитно, так как сочетание имеет значение «вопреки преклонному возрасту». Производный предлог несмотря на пишется слитно.
Серёжа НЕ ТОРОПЯСЬ перевернул страницу. — деепричастие; НЕ пишется раздельно, так как слово торопясь употребляется без НЕ, а с деепричастиями НЕ обычно пишется раздельно.
Месяца НЕ БЫЛО на небе, и звёзды ярко светили. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как глагол быть употребляется без НЕ. С глаголами НЕ обычно пишется раздельно.
До Нового года НЕ БОЛЬШЕ недели. — сравнительная степень; НЕ пишется раздельно. С формами сравнительной степени (не больше, не меньше, не лучше, не хуже) НЕ пишется раздельно.
НЕЗАЧЕМ думать о том, чего нельзя исправить или вернуть. — отрицательное наречие; НЕ пишется слитно. Слово незачем относится к отрицательным наречиям со слитным написанием.