[В XIX веке в России между чинами титулярного советника и коллежского асессора разверзалась бездна], (мостом через которую служил университетский или лицейский диплом).
Запятая 1 не ставится: здесь продолжается главная часть предложения. Грамматическая основа — бездна разверзалась.
Запятая 2 ставится перед придаточным определительным, которое относится к слову бездна: бездна (какая?) мостом через которую служил университетский или лицейский диплом. Придаточная часть присоединяется союзным словом КОТОРУЮ с предлогом ЧЕРЕЗ.
Запятая 3 не ставится. Союзное слово КОТОРУЮ находится не в начале придаточной части: она начинается со слова мостом. Поэтому граница главной и придаточной частей проходит в позиции 2, а не непосредственно перед сочетанием через которую.
Запятая 4 не ставится: сочетание через которую входит в состав придаточного предложения и не обособляется. Грамматическая основа придаточной части — диплом служил, слово мостом входит в состав сказуемого: диплом служил мостом.