1) ОБЫСКАТЬ – после исконно русской приставки, оканчивающейся на согласный, пишется буква Ы. — верно. После исконно русской приставки, оканчивающейся на согласный, в соответствии с произношением вместо «И» пишется «Ы».
2) ОСНАСТИТЬ – в корне слова пишется непроверяемая безударная гласная. — неверно. Корнем слова будет «снаст»; мы можем подобрать проверочное слово – «оснАстка», ударение падает так, что мы чётко слышим букву «А».
3) МЯСО-МОЛОЧНАЯ (промышленность) – сложное имя прилагательное, образованное на основе подчинительного словосочетания, пишется через дефис. — неверно. Сложные прилагательные – имена прилагательные, образованные при помощи двух и более слов. Слово «мясо-молочная» пишется через дефис, потому что образовано от сочетания однородных («мясной и молочный»).
4) ПИСАНЫЙ (красавец) – в имени прилагательном, образованном с помощью суффикса -АН-, пишется одна буква Н. — неверно. Описанное правило относится к отыменным прилагательным: они образуются при помощи суффикса -АН- от существительных. Перед нами отглагольное прилагательное, образованное от глагола несовершенного вида «писать», а не от существительного. В слове действительно пишется «Н», так как не выполняется ни одно из условий для написания НН.
5) СИНИЦЫ – в окончании имени существительного после Ц пишется буква Ы. — верно. В окончаниях имён существительных и прилагательных после «Ц» пишется буква «Ы».