Эпитет – образные, эмоциональные определения (прилагательные или причастия)
1) Родители мои купили небольшое именьице в Кромском уезде. – неверно. В утверждении содержится лишь факт, что было куплено именьице. «Небольшое» – прилагательное, показывающее нам всего лишь его размер, оно не является ярким/образным.
2) В деревне у меня сразу же завелись обширные и любопытные знакомства с крестьянами. – верно. Мы можем заметить слова «обширные и любопытные»; это яркие определения, которые помогают нам представить, какими были знакомства у героя.
3) Ляг тут другой на моём месте, на мешках, — он так и сорвёт с мешка и выбросит, а меня ни в жизнь не тронет. – неверно. В предложении нет ярких и образных определений => здесь нет эпитета. Но в предложении есть устойчивое выражение, фразеологизм «ни в жизнь», можем заменить «ни при каких обстоятельствах».
4) Все эти живые и занимательные истории имели тогда для меня полную вероятность, и их густое, образное содержание до такой степени переполняло мою фантазию, что я сам был чуть ли не духовидцем. – верно. В предложении содержатся слова «занимательные», «живые», «густое»; это эмоциональные определения (в данном случае прилагательные), которые помогают нам лучше представить истории и понять, как трепетно рассказчик относился к ним.
5) Лесные родники осиротели бы, если бы от них были отрешены гении, приставленные к ним народною фантазией. – неверно. «Лесные» – прилагательное, оно лишь констатирует факт о лесных родниках, оно не является образным, ярким и показательным.