Эпитет – образное, эмоциональное определение (прилагательное или причастие)
1) Посещение кухни было строго воспрещено Грэю, но, раз открыв уже этот удивительный, полыхающий огнём очагов мир пара, копоти, шипения, клокотания кипящих жидкостей, стука ножей и вкусных запахов, мальчик усердно навещал огромное помещение. – верно. Мы можем заметить слова «удивительный, полыхающий»; это яркие, эмоциональные определения, которые позволяют представить, как выглядела кухня.
2) Нахмурив брови, мальчик вскарабкался на табурет, зачерпнул длинной ложкой горячего бульона и плеснул на сгиб кисти. – неверно. В данном предложении нет эмоциональных определений, присутствуют только однородные сказуемые, которые иллюстрируют происходящие события.
3) В то время как другие женщины хлопотали около Бетси, он пережил ощущение острого чужого страдания, которое не мог испытать сам. – верно. Мы можем заметить слово «острого»; это красочное определение, которое позволяет дать характеристику слову «страдания».
4) Врач смягчил боль, наложив повязку. – неверно. В предложении нет ярких прилагательных, которые помогли бы нам увидеть картину во всей полноте, однако здесь присутствует выражение «смягчить боль», которое имеет переносное значение «ослабить боль».
5) Грэй разбил каминными щипцами свою фарфоровую копилку и вытряхнул оттуда всё. – неверно. В предложении нет ярких и образных определений => здесь нет эпитетов. Но есть однородные сказуемые, которые помогают понять, какие события происходили.