Эпитет – образное, эмоциональное определение (прилагательное или причастие)
1) Илья Самойлович Бурмин служил старшим писцом. – неверно. В данном предложении нет прилагательных или причастий с яркой, эмоциональной окраской => здесь нет эпитетов.
2) Среди шума и кипучего движения большого города она напоминала те чахлые травинки, которые вырастают в расщелинах старых каменных построек. – верно. Мы можем заметить образное определение «кипучего», которое помогает представить, как выглядел город. Также мы видим яркое прилагательное «чахлые», которое дает характеристику слову «травинки».
3) Но, к сожалению, городской сад находился очень далеко от их дома. – неверно. Здесь нет эмоциональных определений, которые помогли бы нам представить полную картину, однако есть вводное слово «к сожалению», оно выделяется запятыми с двух сторон.
4) Проект, бессвязный и наивный до трогательности, был написан через месяц. – верно. Мы можем заметить прилагательные «бессвязный, наивный»; они дают яркую характеристику слову «проект» => это эпитеты.
5) Но неудача не убила его деятельности. – неверно. В данном предложении нет ярких, образных определений, однако присутствует фраза «неудача не убила деятельности», которое имеет переносное значение; «не убила» = «не прекратила, не остановила».