Задание 19 ЕГЭ по базовой математике

Question

Витя написал на доске трехзначное натуральное число. Известно, что это число меньше 300, а при делении на 8 и на 5 дает равные ненулевые остатки. При этом первая цифра в записи этого числа равна среднему арифметическому двух других цифр. Какое число Витя написал на доске? В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Accepted Answer

Так как число дает одинаковые ненулевые остатки при делении на на 8 и на 5, то оно дает такой же ненулевой остаток при делении на 8 ∙ 5=40. То есть число A можно представить в виде
$A=40x+r$,
где r- остаток от деления на 40. Причем, r может принимать значения 1, 2, 3 и 4, так как r таже является ненулевым остатком от деления на 5.
Найдем значения, которые может принимать x. Для этого используем условия, что число A, записанное Витей, трехзначное и меньше 300.
$40x+r ≥ 100$
$40x ≥ 99$
$x ≥ 3$ | $40x+r<300$
$40x<296$
$x< 7$
Рассмотрим все варианты:
x | r | $A=40x+r$ | Вывод
3 | 1 | 121 | Числа не подходят, так как цифра 1 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
2 | 122
3 | 123
4 | 124
4 | 1 | 161 | Числа не подходят, так как цифра 1 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
2 | 162
3 | 163
4 | 164
5 | 1 | 201 | Числа не подходят, так как цифра 2 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
2 | 202
3 | 203
4 | 204 | $\frac{0+4}{2}$$= 2-число 204 подходит$
6 | 1 | 241 | Числа не подходят, так как цифра 2 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
2 | 242
3 | 243
4 | 244
7 | 1 | 281 | Числа не подходят, так как цифра 2 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
2 | 282
3 | 283
4 | 284

x	r	$A=40x+r$	Вывод
3	1	121	Числа не подходят, так как цифра 1 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
	2	122
	3	123
	4	124
4	1	161	Числа не подходят, так как цифра 1 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
	2	162
	3	163
	4	164
5	1	201	Числа не подходят, так как цифра 2 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
	2	202
	3	203
	4	204	$\frac{0+4}{2}$ $= 2-число 204 подходит$
6	1	241	Числа не подходят, так как цифра 2 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
	2	242
	3	243
	4	244
7	1	281	Числа не подходят, так как цифра 2 не является средним арифметическим двух других цифр числа.
	2	282
	3	283
	4	284

Задание 19 ЕГЭ по базовой математике

Деление с остатком