Задание 12 ЕГЭ по математике профильной

0,5

Найдем коэффициенты уравнения прямой. Для этого подставим точки $(4;1)$ и $(5;-1)$ и решим систему уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} 4a + b = 1 \\ 5a + b = -1 \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l} b = 1-4a \\ 5a + 1 -4a = -1 \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l} b = 1-4a \\ a = -2 \end{array} \right. \\ \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l} b = 1+8 = 9 \\ a = -2 \end{array} \right. \\ \Rightarrow g(x) = -2x + 9$
Найдем коэффициент уравнения гиперболы. Для этого подставим точку $(4;1)$:
$\frac{k}{4} = 1 \\ \Rightarrow k = 4 \\ \Rightarrow f(x) = \frac{4}{x}$
Теперь найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем значения функций:  
$-2x + 9 = \frac{4}{x} \ \ | \cdot x, \ x \ne 0 \\ -2x^2 + 9x = 4 \\ 2x^2 -9x + 4 = 0 \\ 2x^2 - 8x - x + 4 = 0 \\ 2x(x-4) - (x-4) = 0 \\ (2x-1)(x-4) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{2} \\ x = 4 \end{array} \right.$
 
Абсцисса точки $A$ равна $4$, тогда абсцисса точки $B$  равна $\dfrac{1}{2} = 0, \! 5$.