Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$$(AC=CB)$ высота $AH$ равна $6$, $AB=15$. Найдите синус угла $CAB$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Найдите скалярное произведение $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины ребер: $AB=28, AD=16, AA_{1} =12.$ Найдите синус угла между прямыми $DD_{1}$ и $B_{1} C$.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадает ровно два раза.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $0,1$. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,03$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения $(x+7)^7=1$.

Найдите значение выражения $12\sqrt{2}\cos (-225^{\circ})$.

На рисунке изображен график дифференцируемой функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-5;9)$. Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна $0$.

Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле $R=r_{пок}-\dfrac{r_{пок}-r_{экс}}{(K+1)^m}$, где $m=\dfrac{0,02K}{r_{пок}+0,1}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $29$, их средняя оценка равна $0{,}48$, а оценка экспертов равна $0{,}18$.

Лодка в 8:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в $30$ км от А. Пробыв в пункте В $1$ час $30$ минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в $22:00$ того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что скорость лодки $5$ км/ч.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

а) Решите уравнение $\cos 2x+3\sin (-x)-2=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi]$.

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$. На ребрах $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ отмечены точки $L$, $K$, $N$ и $M$ соответственно так, что четырехугольник $KLMN$ — трапеция с основанием $KL=3$ и $MN=2$. Известно, что $SK:KB=3:1$.
а) Докажите, что плоскость $KLM$ пересекает ребра $SC$ и $SD$ в их серединах.
б) Найдите высоту $SH$ пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой $H$, площадь основания равна $24$, а площадь сечения $KLMN=10$.

Решите неравенство: $5^x-\dfrac{600}{5^x-1}\geq 0$.

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ И $CD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.
б) Найдите отношение $BH$ и $ED$, если $\angle BCD=135^\circ$.

Найдите все значения $a$, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$, удовлетворяющая неравенству
$2|x-a|+7|x-3|\leq \sqrt{1-y^2}+5$

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит $11$, а сумма которых больше $110$, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше $110$, но больше:
а) $99$;
б) $101$;
в) $100$.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=10$, $CD=17$. Найдите периметр четырехугольника $ABCD$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2{,}2;-4)$ и $\overrightarrow{b}(-1{,}25;-1)$. Найдите скалярное произведение векторов $3\overrightarrow{a}$ и $4\overrightarrow{b}$.

В кубе $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите угол между прямыми $BA_{1}$ и $AD_{1}$. Ответ дайте в градусах.

На конференции выступали спикеры из разных стран. Причём из Польши было приглашено $7$ человек, из Китая — $8$, из России — $5$. Найдите вероятность того, что первым выступал спикер из Польши.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей – $1$ очко, если проигрывает – $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0,3$.

Найдите корень уравнения $2^{-3+x}=8$.

Найдите значение выражения $2\sqrt{2}\cos^2\dfrac{3\pi}{8}-\sqrt{2}$.

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.