Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $558~МГц$. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500~м/с$ - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов, $f$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $12~м/с$. Ответ выразите в МГц.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $57\%$. Если бы стипендия. дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 1%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=a^x$. Найдите значение $f(2)$.

а) Решите уравнение $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^{\cos x}=2$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На боковых рёбрах $SA$, $SC$ и $SD$ отмечены точки $K$, $L$ и $M$ соответственно так, что $SK:KA=SL:LC=2:1$ и $SM=MD$.
а) Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B$.
б) Найдите объём пирамиды $BAKMD$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $18$, а высота пирамиды $SABCD$ равна $7$.

Решите неравенство: $x^2\log_{625}(x+2)\geq \log_5(x^2+4x+4)$.

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\displaystyle \begin{cases} 2x-2y-2=|x^{2} +y^{2} -1|\\ y=a( x-1) \end{cases}$
имеет более двух решений.

В каждой клетке квадратной таблицы $6\times6$ стоит натуральное число, меньшее $7$. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

В треугольнике $ABC~AC=BC=16, AB=8$. Найдите $\cos A$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Диаметр основания конуса равен $40$, а длина образующей $25$. Найдите высоту конуса.

На олимпиаде по физике $\\250$ участников разместили в пяти аудиториях. В первых четырёх удалось разместить по $\\55$ человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

На рынке есть $15$ спелых, $3$ недоспелых и $7$ гнилых арбуза. С какой вероятностью покупатель приобретет $2$ недоспелых арбуза?

Найдите корень уравнения $(x+7)^7=1$.

Найдите значение выражения $27\tg33^{\circ}\cdot \tg57^{\circ}-48$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-11; 6)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-6; 4]$.

Водолазный колокол, содержащий $\nu =2$ моля воздуха при давлении $p_{1} =1,75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=a\nu T\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$, где $\alpha =13,3\frac{Дж}{моль\cdot К}$ - постоянная, $T=300$ К - температура воздуха. Найдите какое давление $p_{2}$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15960$ Дж.

Один мастер выполняет работу за $36$ часов, а второй – за $18$. За сколько часов они выполнят работу, работая вместе?

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=\dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f(20)$.

а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ сторона основания $𝐴𝐵$ равна $4$, а боковое ребро $𝑆𝐴=8$. На ребрах $𝐶𝐷$ и $𝑆𝐶$ отмечены точки $𝑁$ и $𝐾$ соответственно, причем $𝐷𝑁:𝑁𝐶=𝑆𝐾:𝐾𝐶=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $𝐾𝑁$ и параллельна прямой $𝐵𝐶$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $𝐴𝐵$ в отношении $1:3$, считая от вершины $𝐴$.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝑆𝐴$ и $𝐾𝑁$.

Решите неравенство: $16^{\frac{1}{x}-1}-4^{\frac{1}{x}-1}-2\geq 0$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AM$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ$ большей окружности, не содержащей точку $P$.
а) Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $\sin\angle{AOC}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Прямые $PC$ и $AQ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $QK:KA$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2-(4a+3)x+5a+2=0$ имеет два различных корня?