Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Имеется два сплава. Первый сплав содержит $45$% меди, второй - $20$% меди. Масса первого сплава больше массы второго на $30$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $40$% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=kx+b$. Найдите значение $f(3)$.

а) Решите уравнение: $4\sin^{2}\left(\dfrac{\pi }{2} -x\right) =\ctg x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ -5\pi ;-4\pi ]$.

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Основание высоты $SO$ этой пирамиды является серединой ребра $AB$.
а) Докажите, что $SA=SC$.
б) Найдите угол между плоскостями $SAC$ и $ABC$, если $AC=16,AB=20,SA=26$.

Решите неравенство: $\log_{\frac{x}{2}}(x^2-2x+1)\geq 2$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $С$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б)  Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB  =  21$, $BC  =  4$, $CD  =  20$, $AD  =  17$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\displaystyle \begin{cases} |x^2-1|-2x-x^2=|y^2-1|-2y-y^2,\\ x+y=a \end{cases}$
имеет больше двух решений.

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?

б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?

в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Один угол параллелограмма больше другого на $52^{\circ }$. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(2;-5)$, $\vec{b}(6;3)$ и $\vec{c}(4;7)$. Найдите длину вектора $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B,C,B_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $3$.

Конференция по информатике проводится в $8$ дней. Всего запланировано $104$ доклада — они распределены поровну между всеми днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $810$ г, равна $0,96$. Вероятность того, что масса окажется больше, чем $790$ г, равна $0,82$. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем $790$ г, но меньше, чем $810$ г.

Найдите корень уравнения $\log_3(x+9)=4$.

Прямая $y = 9x + 6$ является касательной к графику функции $y = ax^2 - 19x + 13$. Найдите $a$.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0=24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=3$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S=v_0t-\frac{at^2}{2}$ (м). Определите время прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $120$ км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот прошел $24$ км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $2$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Найдите наибольшую абсциссу точки пересечения функций.

а) Решите уравнение: $2\sin^2x+3\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)+2=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна $8$, а боковое ребро $AA1$ равно $7$. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$, причем $CM=1$.

а) Точки $O$ и $O_1$ - центры окружностей, описанных около треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.

б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

Решите неравенство: $7^{\ln (x^2-2x)}\leq (2-x)^{\ln 7}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$, $\angle A=60^{\circ }$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$ - центр окружности, описанной около $\angle ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$.
б) Найдите площадь треугольника ${AHO}$ если $BC=6\sqrt{3}$, $\angle ABC=45^{\circ }$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{a(2^x-2)+4^x}=2^x-a$
имеет единственное решение.

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное $100$.
а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $90$?
б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $88$?
в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен $40$, ее большая боковая сторона равна $11$. Найдите радиус окружности