Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $47^{\circ }$, углы $B$ и $C$ острые, высоты $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите $\cos\alpha$, где $\alpha$ – угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Высота конуса равна $9$, а длина образующей равна $41$. Найдите диаметр основания конуса.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0,5$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше $0,8$?

Найдите корень уравнения $(x+7)^7=-1$.

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Сила тока в цепи $I$ (в A) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\dfrac{U}{R}$, где $U$ - напряжение в вольтах, $R$ - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2{,}5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Расстояние между А и В $790$ км. Из А в В выехал автомобиль, через $3$ часа навстречу ему выехал второй автомобиль со скорость $75$ км/ч. Они встретились на расстоянии $490$ км от города А. Найти скорость первого автомобиля.

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

а) Решите уравнение $\tg^3x+\tg^2x-3\tg x-3=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$, в которой $AB=9$, точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM=8$. Точка $K$ делит сторону $SB$ так, что $SK:KB=7:3$. Ребро $SA=\sqrt{43}$. Точки $M$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$. а) Докажите, что точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$.
б) Найдите площадь сечения $\alpha$.

Решите неравенство: $\log_4(6-6x)<\log_4(x^2-5x+4)+\log_4(x+3)$.

К окружности с диаметром $AB=10$ проведена касательная $BC$ так, что $BC=5$. Прямая $AC$ вторично пересекает окружность в точке $D$. Точка $E$ диаметрально противоположна точке $D$. Прямые $E$ и $BC$ пересекаются в точке $F$.
а) Докажите, что $BD^{2} =CD\cdot BE$.
б) Найдите площадь треугольника $FBE$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{7x-4}\cdot \ln \left(x^2-8x+17-a^2\right)=0$
имеет на отрезке $\left[0;4\right]$ ровно один корень.

В наборе 100 гирек весом 1, 2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Стороны параллелограмма равны $5$ и $10$. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $3$. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Даны точки $A(-2; 3)$ и $B(-5;-1)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{AB}$.

В правильной шестиугольной призме $𝐴𝐵𝐶𝐷EFA_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1} 𝐷_{1} 𝐸_{1} 𝐹_{1}$ все ребра которой равны $3$. Найдите угол между прямыми $𝐶𝐷$ и $𝐸_{1} 𝐹_{1}$. Ответ дайте в градусах.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

В кафе $4$ столика. Каждый из них занят посетителем с вероятностью $0{,}2$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все $4$ столика заняты одновременно. (Считайте, что посетители заходят независимо друг от друга.)

Найдите корень уравнения $\frac{1}{5x+8}=\frac{1}{3}$.

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}{5}$ и $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

На рисунке изображен график производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-18;6)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$ на отрезке $[-13;1]$.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ – начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ – время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ – период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа $156$ мг. Период его полураспада составляет $8$ минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $39$ мг.