Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Из города А в город В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В на 10 часов раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 3 часа 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города В в город А велосипедист?

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

а) Решите уравнение $4\sin^2x=\tg x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi;0]$.

Дана треугольная пирамида $SABC$. Высота $SO$ опускается на середину высоты $CH$ треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $SA^2-SB^2=AC^2-BC^2$.
б) Найдите объём пирамиды $SABC$, если $AB=25$, $BC=20$, $AC=5\sqrt{3}$, $SC=5\sqrt{10}$.

Решите неравенство: $\log_6(21-7x)\geq\log_6(x^2-8x+15)+\log_6(x+3)$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$. 
а) Докажите, что $AE$ параллельно $BD$.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\displaystyle \begin{cases}( x-2)( y+2x-4) =|x-2|^{3} ,\\y=x+a\end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. S – это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли S = 421?

б) Может ли S = 9,2?

в) Какое наибольшее может быть S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

 В четырехугольнике $DOME$ вписана окружность, $DO = 59$, $ME = 39$. Найдите периметр четырехугольника $DOME$.

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

От треугольной пирамиды, объем которой равен $23$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

В чемпионате по гимнастике участвуют $20$ спортсменок: $6$ из России, $5$ из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая предпоследней, окажется из Китая.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0, \! 1$. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решите уравнение $\sqrt{14x-10} = 5$.

Найдите значение выражения $11^9 : \left(11^2\right)^4$.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите количество корней уравнения $f'(x) = 0$, принадлежащих промежутку $[-7;7]$.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$  – мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5, \! 7 \cdot 10^{-8}$  $($Вт/м$^2 \cdot$  К$^4)$ – постоянная, $S$ – площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ – температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{11}{60} \cdot 10^{20}$ м$^2$, а мощность ее излучения равна $1, \! 672 \cdot 10^{29}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Имеются два сосуда. Первый содержит $40$ кг, а второй – $10$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $68\%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $65\%$ кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

На рисунке изображены графики функций $f(x) = \dfrac{k}{x}$  и $g(x) = ax+b$, которые пересекаются в точках $A$  и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

а) Решите уравнение: $\sqrt{2}\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2} \cos \dfrac{x}{2} = \sin x - 1$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi; 4\pi]$.

Точка $O$ - точка пересечения диагоналей грани $CDD_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $DA_1C_1$ пересекает диагональ $BD_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO$.
б) Точки $M$ и $N$ - середины ребер $AB$ и $AA_1$ соответственно. Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью $DA_1C_1$.

Решите неравенство $\dfrac{81^x + 2 \cdot 9^x - 35}{9 - 9^x} \leqslant -4$.

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая - боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\dfrac{AP}{PD}=\sin \angle D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $3$ и $1$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение 
$\left(2+|x+a|\right)^3 - \left(2+|x+a|\right)^2 = \left(3-x^2-2ax-2a^2\right)^3 - \left(3-x^2-2ax-2a^2\right)^2$ имеет хотя бы один корень.

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье - сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной $420$?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной $419$?
в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число - трехзначное, а последнее равно $5$?