В трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) вписана окружность с центром \(O\). а) Докажите, что \(\sin\angle AOD=\sin\angle BOC\) б) Найдите площадь трапеции, если \(\angle BAD=90^\circ\), а основания равны \(5\) и \(7\).

а) \(BO\) и \(AO\) -биссектрисы, так как \(O\) - центр вписанной окружности. Угол между биссектрисами углов при боковой стороне трапеции равен \(90^\circ\). Поэтому угол \(AOB\) равен \(90^\circ\). Аналогично \(\angle COD=90^\circ\). Тогда: \(\angle AOD= {360}^{\circ} - \angle{AOB} - \angle{COD} - \angle{BOC} = {180}^{\circ} - \angle{BOC}\) значит \(\sin\angle AOD=\sin\angle BOC\\ Ч.т.д.\) б) Треугольник \(COD\) прямоугольный (см. пункт а). \(H\) - точка касания окружности и прямой \(CD\). \(OH\perp CD\) как радиус, проведенный в точку касания. \(OH\) - высота прямоугольного треугольника. \(OH^2=CH\cdot HD\) \(K\) и \(M\) - точки касания окружности и прямых \(BC\) и \(AD\) соответственно, \(CK=CH,DH=DM\) как отрезки касательных. Трапеция прямоугольная, поэтому \(AM=BK=r\). Тогда: \(CK=CH=5-r\\ DH=DM=7-r\\ OH^2=CH\cdot HD\\ r^2=(5-r)\cdot (7-r)\\ r^2=35-7r-5r+r^2\\ 12r=35\\ r=\frac{35}{12}\) \(h\) - высота трапеции, \(h=2r\), \(h=\frac{35}{6}\\ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h\\ S+\frac{5+7}{2}\cdot \frac{35}{6}=35\) Ответ: 35

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\displaystyle \begin{cases} 2x-2y-2=|x^{2} +y^{2} -1|\\ y=a( x-1) \end{cases}\) имеет более двух решений.

Преобразуем исходную систему, раскрыв модуль и наложив необходимые ограничения: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-2y-2=|x^{2} +y^{2} -1|\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} -1\geq 0\\ 2x-2y-2=x^{2} +y^{2} -1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} -1< 0\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} \geq 1\\ x^{2} -2x+1+y^{2} +2y+1=1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} < 1\\ x^{2} +2x+1+y^{2} -2y+1=5 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} \geq 1\\ ( x -1)^{2} +( y+1)^{2} =1^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( 1) \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} < 1\\ ( x+ 1)^{2} +( y-1)^{2} =\left(\sqrt{5}\right)^{2} \ ( 2) \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \end{array}\) Для дальнейшего решения полученной системы используем графический метод. На координатной плоскости изобразим полученные решения с учётом ограничений. Уравнение (1) описывает окружность (1) с центром в точке \((1;-1)\) и радиусом \(1\), а уравнение (2) – окружность (2) с центром в точке \((-1;1)\) и радиусом \(\sqrt{5}\): В свою очередь ограничение \(x^2+y^2 1\) на графике можно представить как окружность \(x^2+y^2=1\) (с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(1\)). Тогда для окружности (1) в решении следует рассматривать только ту часть, которая находится вне окружности, изображающей ограничение (\(x^2+y^2\geq 1\)). А для окружности (2) – часть, которая находится внутри окружности, изображающей ограничение (\(x^2+y^2<1\)). Таким образом, графическое представление первого уравнения исходной системы будет выглядеть так: Найдём координаты точек пересечения окружностей. Для этого решим систему, состоящую из уравнений для этих окружностей: \(\displaystyle \begin{cases} ( x-1)^{2} +( y+1)^{2} =1^{2}\\ ( x+1)^{2} +( y-1)^{2} =\left(\sqrt{5}\right)^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-2y-2=x^{2} +y^{2} -1\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{cases}\) Сложим первое уравнения со вторым: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 4x-4y-4=0\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-y=1\\ x^{2} +2x+y^{2} -2y-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ x^{2} +2x+( x-1)^{2} -2( x-1) -3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ 2x^{2} -2x=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ x( x-1) =0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=-1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}\) Таким образом, окружности пересекаются в точке \(A(1;0)\) и точке \(B(0;-1)\). График второго уравнения исходной системы \(y=a(x-1)\) представляет собой пучок прямых, проходящих через точку \(A(1;0)\), с коэффициентом наклона, равным \(a\). Чтобы исходная система имела более двух решений, прямая \(y=a(x-1)\) должна иметь более двух точек пересечения с кривой, представляющей первое уравнение исходной системы. Найдём количество пересечений при различных значениях \(a\). При \(a\rightarrow -\infty\) прямая \(y=a(x-1)\) стремится слиться прямой, проходящей через точку \(A(1;0)\) параллельно оси \(OY\). При \(a\in (-\infty;0)\) прямая \(y=a(x-1)\) имеет два пересечения с кривой представляющей первое уравнение исходной системы. То есть исходная система имеет 2 решения. При \(a=0\) прямая \(y=a(x-1)\) совпадает с осью \(OX\) и имеет одно пересечение (точка \(A(1;0)\)). То есть система имеет 1 решение. При \(a>0\) прямая \(y=a(x-1)\) имеет одно пересечение (точка \(A(1;0)\)). Такая ситуация сохранится до момента прохождения прямой \(y=a(x-1)\) через точку \(B(0;-1)\). В этом случае точек пересечения будет две. Значит, и система будет иметь 2 решения. Найдём значение параметра \(a\) в точке \(B(0;-1)\): \(-1=a(0-1)\\ a=1\) При \(a>1\) точек пересечения станет 3: Так будет продолжаться по тех пор, пока прямая \(y=a(x-1)\) не превратится в касательную для окружности (2). При дальнейшем увеличении параметра \(a\) точек пересечения снова станет две. То есть исходная система будет иметь 2 решения. Таким образом, более двух решений исходная система будет иметь при значении параметра \(a\) от 1 до значения коэффициента наклона касательной для окружности (2) в точке \(A(1;0)\). Найдём это значение коэффициента наклона. То, что прямая \(y=a(x-1)\) является касательной для окружности (2), означает, что прямая, содержащая радиус окружности (2), проведённый через точку \(A(1;0)\), должна быть перпендикулярна к касательной, проходящей через эту точку. Одна из прямых пучка \(y=a(x-1)\) будет содержать радиус окружности (2) и проходить через центр этой окружности с координатами \((-1;1)\): \(1=a(-1-1)\\ a=-\frac{1}{2}\) Значит, коэффициент наклона прямой, содержащей радиус к точке касания, равен \(-\frac{1}{2}\). Тогда коэффициент наклона перпендикулярной прямой: \(-\frac{1}{2}\cdot a=-1\\ a=2\) Таким образом, более двух решений исходная система будет иметь при \(a\in (1;2)\). Ответ: \(a\in (1;2)\).

В каждой клетке квадратной таблицы \(6х6\) стоит натуральное число, меньшее \(7\). Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи? б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи? в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

а) Да, может быть, пример: \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) б) Нет. Так как, Вася минимум соберёт \(6\), а Петя максимум соберет \(= 36\), но одновременно это невозможно. Так как максимум Пети \(36\), когда все числа в таблице \(6\), но тогда у Васи не может быть \(6\). в) Если у Васи \(6\), то у Пети максимум будет \(31\) (1 строка из \(1\) и все остальные строки из \(6\)), тогда получаем \(\frac{31}{6}\), а если у Васи не \(6\), то у него пусть будет \(n > 6\). У Пети пусть будет \(m\leq 36\), тогда \(\frac{m}{n}\leq\frac{36}{7}\). Проверим \(\frac{36}{7}\) и \(\frac{36}{6}\leftrightarrow\frac{216}{42}<\frac{252}{42}\). Значит, наибольшим будет \(\frac{31}{6}\), пример: \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) Ответ: а) да; б) нет; в) \(\frac{31}{6}\).