а) Решите уравнение: \(4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac{5}{3};2]\).

а) \(\frac{2^{2x^2}}{4}-24\cdot\frac{2^{x^2}}{8}+8=0|\cdot 4\) Замена \(2^{x^2}=t\) \(t^2-12t+32=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t=8\\ t=4 \end{array} \right.\) Обратная замена: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =8\\2^{{x}^{2}} =4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =2^{3}\\ 2^{{x}^{2}} =2^{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x^{2} =3\\ x^{2} =2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm \sqrt{3}\\ x=\pm \sqrt{2} \end{array} \right.\) б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку \([-\frac{5}{3};2]\) 1) \(-\frac{5}{3} -\sqrt{\frac{25}{9}}\), значит \(-\sqrt{2}>-\frac{5}{3}\) и \(-\sqrt{2} \frac{25}{9}\), то \(\sqrt{3}>\sqrt{\frac{25}{9}}\Leftrightarrow -\sqrt{3}< -\sqrt{\frac{25}{9}}\), значит \(-\sqrt{3}< -\frac{5}{3}\). В итоге нам подходят корни \(-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}\). Ответ: a) \(-\sqrt{3};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}\) б) \(-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}\).

В правильной четырехугольной пирамиде \(𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷\) сторона основания \(𝐴𝐵\) равна \(4\), а боковое ребро \(𝑆𝐴=8\). На ребрах \(𝐶𝐷\) и \(𝑆𝐶\) отмечены точки \(𝑁\) и \(𝐾\) соответственно, причем \(𝐷𝑁:𝑁𝐶=𝑆𝐾:𝐾𝐶=1:3\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(𝐾𝑁\) и параллельна прямой \(𝐵𝐶\). а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(𝐴𝐵\) в отношении \(1:3\), считая от вершины \(𝐴\). б) Найдите расстояние между прямыми \(𝑆𝐴\) и \(𝐾𝑁\).

а) Построим сечение: \(\alpha \parallel BC \Rightarrow\) проведем в \((ABC)\) прямую \(MN \parallel BC\). Аналогично проведем \(KL\) в \((BSC)\) Тогда \(MLKN \ -\) искомое сечение плоскостью \(\alpha\) \(MN||BC, \frac{BM}{MA}=\frac{CN}{ND}=\frac{3}{1}~(теорема~о~пропорциональных~отрезках), Ч.Т.Д.\) б) Расстояние между скрещивающимися прямыми - это расстояние от прямой до плоскости, которая ей параллельна и содержит другую прямую. \(d(AS;MLKN ) \ - \ искомое,\\ AS||ML\Rightarrow AS||MLKN\\ KN\in MLKN\\ F-середина~LK,E-середина~MN, T-середина~AD,U-середина~BC\\ ST=SU=2\sqrt{15}\) Так как \(ST||EF\Rightarrow \ d( S;EF) =\) расстояние от любой точки \(ST\) до \(EF\), то \(UH\perp ST, R=UH\cap FE, HR=\frac{1}{4}UH, \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot UH=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{14}\cdot 4\\ UH=\frac{4\sqrt{14}}{\sqrt{15}}\\ HR=\sqrt{\frac{14}{15}}\) Ответ: \(\sqrt{\frac{14}{15}}\)

Решите неравенство: \(16^{\frac{1}{x}-1}-4^{\frac{1}{x}-1}-2\geq 0\).

Пусть \(𝑡=4^{\frac{1}{x} -1}\), тогда \(𝑡^{2} -𝑡−2\geq 0\), откуда \(𝑡\leq −1\) или \(𝑡\geq 2\). Сделаем обратную замену: \(4^{\frac{1}{x}-1}\leq -1~или~4^{\frac{1}{x}-1}\geq 2\) \(4^{\frac{1}{x}-1} > 0\) для любых \(x \Rightarrow\) у первого неравенства нет решений \(4^{\frac{1}{x}-1}\geq 2 \Rightarrow 2^{\frac{2}{x}-2}\geq 2\\ \frac{2}{x}-2\geq 1\\ \frac{2-3x}{x}\geq 0\) \(0<x\leq \dfrac{2}{3}\) Ответ: \(\left(0; \dfrac{2}{3}\right]\)

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(3t\) единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(4t\) единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему \(500\) рублей. Григорий готов выделять \(5 000 000\) рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

По условию час работы на каждом из заводов стоит \(500\) рублей. Значит, суммой в \(5 000 000\) рублей можно оплатить \(5 000 000 : 500 = 10 000\) часов работы на обоих заводах. Пусть: \(x\) - время работы в неделю на заводе, расположенном в первом городе; \((10000-x)\) - время работы в неделю на заводе, расположенном во втором городе. Работая \(x\) часов в неделю на заводе, расположенном в первом городе, рабочие произведут \(x=t^2\Rightarrow t=\sqrt{x}\Rightarrow 3t=3\sqrt{x}\) единиц товара. Работая \((10000-x)\) часов в неделю на заводе, расположенном во втором городе, рабочие произведут \((10000-x)=t^2\Rightarrow t=\sqrt{10000-x}\Rightarrow 4t=4\sqrt{10000-x}\) единиц товара. Тогда за неделю на двух заводах будет произведено \(3\sqrt{x}+4\sqrt{10000-x}=f(x)\). Для нахождения наибольшее количество товара необходимо найти максимальное значение функции \(f(x)\). Так как в точке наибольшего значения функции производная этой функции равна нулю, найдем сначала производную, воспользовавшись формулой производной сложной функции: \(f'(x)=3\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}+(-4)\cdot\frac{1}{2\sqrt{10000-x}}\\ f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{10000-x}}\) Приравняем производную к \(0\): \(\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{10000-x}}=0\\ \frac{3}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{10000-x}}\\ 3\cdot \sqrt{10000-x}=4\cdot\sqrt{x}\\ 3^2\cdot (\sqrt{10000-x})^2=4^2\cdot (\sqrt{x})^2\\ 9\cdot (10000-x)=16\cdot x\\ 90000-9x=16x\\ 25x=90000\\ x=3600\) Отметим на числовой прямой знаки производной и поведение (убывание/возрастание) функции: В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с \("+"\) на \("-"\), значит, \(x=3600\) - точка максимума. Тогда наибольшее количество единиц товара, которое можно произвести за неделю на двух заводах, составит: \(f(3600)=3\cdot\sqrt{3600}+4\cdot\sqrt{10000-3600}=3\cdot 60+4\cdot\sqrt{6400}=180+4\cdot 80=500\) Ответ: 500

Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A\), причём меньшая окружность проходит через центр \(O\) большей. Диаметр \(BC\) большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке \(M\), отличной от \(A\). Лучи \(AO\) и \(AM\) вторично пересекают большую окружность в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Точка \(C\) лежит на дуге \(AQ\) большей окружности, не содержащей точку \(P\). а) Докажите, что прямые \(PQ\) и \(BC\) параллельны. б) Известно, что \(\sin\angle{AOC}=\frac{\sqrt{15}}{4}\). Прямые \(PC\) и \(AQ\) пересекаются в точке \(K\). Найдите отношение \(QK:KA\).

а) \(AP\) - диаметр, следовательно угол \(PQA=90^\circ\). \(OA\) - диаметр, следовательно угол \(OMC=90^\circ\), тогда: \(\left\{ \begin{array}{l} OM \perp AQ \\ PQ \perp AQ \end{array} \right. \Leftrightarrow OM \| PQ \Rightarrow BC \| PQ\) Ч.Т.Д. б) 1) Проведем \(OQ\), тогда треугольник \(OQA\) - равнобедренный (\(OQ=OA=r\)), где \(OM\) - высота (и биссектриса), значит угол \(QOC=\) углу \(AOC\) (центральные углы), значит дуга \(QC\) равен дуге \(CA\). Следовательно, угол \(QPC\) равен углу \(CPA\) (вписанные углы опираются на равные дуги), тогда \(PC\) - биссектриса, то в треугольнике \(PQA\): \(PK\) – биссектриса. \(\angle AOC = \angle APQ = \alpha\) как соответственные углы при \(OC \| PQ\) и секущей \(PA\). 2) По свойству биссектрисы: \(\frac{QK}{KA}=\frac{PQ}{AP}\) \(\Rightarrow\) В прямоугольном \(\triangle{PQA}\): \(\cos{\angle{APQ}} = \dfrac{PQ}{PA} = \cos{\alpha}\) По основному тригонометрическому тождеству: \(\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{15}{16}}=\frac{1}{4}\) Ответ: \(\frac{1}{4}\)