При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(ax^2-(4a+3)x+5a+2=0\) имеет два различных корня?

Чтобы уравнение имело два различных корня необходимо, чтобы \(D>0\). Заметим, что при \(a=0\) уравнение превращается в линейное и имеет \(1\) корень, нам не подходит. Рассмотрим: \(D=(4a+3)^2-4a(5a+2)=16a^2+24a+9-20a^2-8a\). \(-4a^2+16a+9>0\\ 4a^2-16a-9<0\) Введём функцию \(f(a)=4a^2-16a-9\), найдём \(f(a)=0\Rightarrow 4a^2-16a-9=0\) \(\displaystyle D=256-4\cdot ( -9) \cdot 4=256+144=400\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a_{1} =\frac{16+20}{2\cdot 4}\\ a_{2} =\frac{16-20}{2\cdot 4} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a_{1} =4,5\\ a_{2} =-0,5 \end{array} \right.\) Воспользуемся методом интервалов: Получим, что при \(a\in (-0,5;4,5)\) \(D>0\), т.е. уравнение должно иметь \(2\) корня. Вспомним, что при \(a=0\) уравнение имеет \(1\) корень, тогда \(a\in (-0,5;0)\cup (0;4,5)\) уравнение имеет \(2\) корня. Ответ: \((-0,5;0)\cup (0;4,5)\)

На доске написано \(n\) чисел \(a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)\). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на \(r_{i}\%\). При этом либо \(r_{i} =2\%\), либо число \(a_{i}\) уменьшается на 2, то есть становится равным \(a_{i} -2\). Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента). а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\) быть равным 5? б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\) больше 2, при этом сумма чисел \(a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}\) уменьшилась более чем на \(2n\)?в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\).

а) Нет, так как наибольший %, на который может быть уменьшено число \(\frac{2}{50} \cdot 100%=4%\). б) Да, например, взяли бы два числа 50 и 150, тогда: В итоге среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{n} =3\%\), при этом сумма чисел \(a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}\) уменьшилась на \(5( >2n,n-2)\) в) Так как наибольший %, на который может быть уменьшено число =4%, то нам нужно, как можно больше чисел по 50, из которых мы будем вычитать 2. Пусть \(k\) чисел уменьшим на 2, тогда \(30-k\) чисел уменьшаем на 2%. Так как сумма чисел уменьшилась на 40, то \(40\geqslant 2k+( 30-k) \cdot 1\) (\(2k\) - уменьшение \(k\) чисел на 2, \((30-k) \cdot 1\) - наименьшее уменьшение суммы \(30-k\) чисел, которые уменьшаются на 2%) \(40\geqslant 2k+( 30-k) \cdot 1\\ 10\geqslant k\) Пусть \(k=10\), тогда \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{10} =4\%\), а \(r_{11} ,r_{12} ,\dotsc ,r_{30} =2\%\), среднее арифметическое: \(\frac{4\cdot 10+2\cdot 20}{30} =\frac{8}{3}\) Пример: Возьмем 30 чисел по 50, из первых 10 вычтем 2, из остальных 2% \(\Rightarrow r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{10} =4\%\), а \(r_{11} ,r_{12} ,\dotsc ,r_{30} =2\%\), среднее арифметическое: \(\frac{4\cdot 10+2\cdot 20}{30} =\frac{8}{3}\) Ответ: а) Нет; б) Да; в) \(\frac{8}{3}\).