Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №3 Стереометрия

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины ребер: $AB=28, AD=16, AA_{1} =12.$ Найдите синус угла между прямыми $DD_{1}$ и $B_{1} C$.

В кубе $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите угол между прямыми $BA_{1}$ и $AD_{1}$. Ответ дайте в градусах.

Диаметр основания конуса равен $40$, а длина образующей $25$. Найдите высоту конуса.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен $60$. Площадь одной его грани равна $12$. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $21$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна $2$, боковое ребро равно $5$. Найдите её объём.

Высота конуса равна $9$, а длина образующей равна $41$. Найдите диаметр основания конуса.

В правильной шестиугольной призме $𝐴𝐵𝐶𝐷EFA_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1} 𝐷_{1} 𝐸_{1} 𝐹_{1}$ все ребра которой равны $3$. Найдите угол между прямыми $𝐶𝐷$ и $𝐸_{1} 𝐹_{1}$. Ответ дайте в градусах.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B,C,B_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $3$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $20\pi$, а высота равна $4$. Найдите диаметр основания.

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $16$ см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в $2$ раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

От треугольной пирамиды, объем которой равен $23$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $\\59$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $\\50\sqrt{2}$. Найдите образуюшую конуса.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $\\43$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $\\10\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $11\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $4$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $7$, объем призмы равен $56$. Найдите боковое ребро.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $80\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $𝐴,𝐵,𝐶,𝐶_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $7$, а боковое ребро равно $6$.

Цилиндр описан около шара. Объем шара равен $50$. Найдите объем цилиндра.

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $16$ см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в $2$ раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $D,E,F,D_{1},E_{1} ,F_{1}$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$, площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $9$.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $37$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.