В остроугольном треугольнике $ABC$$(AC=CB)$ высота $AH$ равна $6$, $AB=15$. Найдите синус угла $CAB$.

Площадь треугольника $ABC$ найдём двумя способами. Так как $AH$ — высота к стороне $CB$, получаем: $S_{ABC}=\frac{1}{2}CB\cdot AH$ Так как $AC=CB$, обозначим: $AC=CB=x$ Тогда: $S_{ABC}=\frac{1}{2}x\cdot6=3x$ Также площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB\cdot\sin\angle CAB$ Подставим известные значения: $S_{ABC}=\frac{1}{2}x\cdot15\cdot\sin\angle CAB$ Получаем равенство: $3x=\frac{15x}{2}\sin\angle CAB$ Сократим на $x$: $3=\frac{15}{2}\sin\angle CAB$ $\sin\angle CAB=\frac{3\cdot2}{15}$ $\sin\angle CAB=\frac{6}{15}$ $\sin\angle CAB=0{,}4$ Ответ: $0{,}4$

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=10$, $CD=17$. Найдите периметр четырехугольника $ABCD$.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, значит суммы длин противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD$ Периметр четырёхугольника: $P=AB+BC+CD+AD$ Сгруппируем стороны: $P=(AB+CD)+(BC+AD)$ Так как: $AB+CD=BC+AD$ получаем: $P=2(AB+CD)$ Подставим значения: $P=2(10+17)$ $P=2\cdot27$ $P=54$ Ответ: $54$

В треугольнике $ABC~AC=BC=16, AB=8$. Найдите $\cos A$.

В треугольнике $ABC$ даны стороны: $AC=BC=16,\quad AB=8$ Найдём $\cos A$ по теореме косинусов: $BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot\cos A$ Подставим значения: $16^2=16^2+8^2-2\cdot16\cdot8\cdot\cos A$ $256=256+64-256\cos A$ $256=320-256\cos A$ $256\cos A=320-256$ $256\cos A=64$ $\cos A=\frac{64}{256}$ $\cos A=\frac{1}{4}$ $\cos A=0{,}25$ Ответ: $0{,}25$

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $124^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

Так как $AC=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: $\angle A=\angle B$ Внешний угол при вершине $B$ равен $124^\circ$. Внутренний угол $B$ и внешний угол образуют развёрнутый угол: $\angle B=180^\circ-124^\circ$ $\angle B=56^\circ$ Следовательно: $\angle A=56^\circ$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ $56^\circ+56^\circ+\angle C=180^\circ$ $\angle C=180^\circ-112^\circ$ $\angle C=68^\circ$ Ответ: $68$

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }, AB=10, BC=8.$ Найдите $\cos A$.

Так как $\angle C=90^\circ$, треугольник $ABC$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике: $\cos A=\frac{AC}{AB}$ Найдём сторону $AC$ по теореме Пифагора: $AB^2=AC^2+BC^2$ Подставим значения: $10^2=AC^2+8^2$ $100=AC^2+64$ $AC^2=36$ $AC=6$ Тогда: $\cos A=\dfrac{6}{10}$ $\cos A=0{,}6$ Ответ: $0{,}6$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, № 1 Планиметрия с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания, выбрав вид экзамена, название предмета, номер или тему. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 71661 балл
Треугольники
В остроугольном треугольнике $ABC$ $(AC=CB)$ высота $AH$ равна $6$ , $AB=15$ . Найдите синус угла $CAB$ .
id 71761 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=10$ , $CD=17$ . Найдите периметр четырехугольника $ABCD$ .
id 72061 балл
Треугольники
В треугольнике $ABC~AC=BC=16, AB=8$ . Найдите $\cos A$ .
id 159251 балл
Треугольники
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $124^\circ$ . Найдите угол $C$ . Ответ дайте в градусах.
id 72091 балл
Треугольники
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }, AB=10, BC=8.$ Найдите $\cos A$ .