В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна \(0,1\). Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна \(0,03\). Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Обозначим события: \(A\) — к концу дня кофе закончится в первом автомате; \(B\) — к концу дня кофе закончится во втором автомате. По условию: \(P(A)=0{,}1,\) \(P(B)=0{,}1,\) \(P(A\cap B)=0{,}03.\) Кофе останется в обоих автоматах, если кофе не закончится ни в одном из них. Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =0{,}1+0{,}1-0{,}03=0{,}17.\) Тогда искомая вероятность равна: \(P=1-0{,}17=0{,}83.\) Ответ: \(0{,}83\).

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы \(4\) очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает \(3\) очка, в случае ничьей – \(1\) очко, если проигрывает – \(0\) очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны \(0,3\).

Вероятность победы: \(P(\text{победа})=0{,}3.\) Вероятность поражения: \(P(\text{поражение})=0{,}3.\) Тогда вероятность ничьей: \(P(\text{ничья})=1-0{,}3-0{,}3=0{,}4.\) Для выхода в следующий круг необходимо набрать не менее \(4\) очков. Это возможно в двух случаях: - две победы; - победа и ничья или ничья и победа. Вероятность двух побед: \(0{,}3\cdot0{,}3=0{,}09.\) Вероятность победы и ничьей: \(0{,}3\cdot0{,}4+0{,}4\cdot0{,}3=0{,}24.\) Тогда искомая вероятность равна: \(0{,}09+0{,}24=0{,}33.\) Ответ: \(0{,}33\).

На рынке есть \(15\) спелых, \(3\) недоспелых и \(7\) гнилых арбуза. С какой вероятностью покупатель приобретет \(2\) недоспелых арбуза?

Всего арбузов: \(15+3+7=25.\) Вероятность того, что первым будет куплен недоспелый арбуз: \(\dfrac{3}{25}.\) После этого останется \(2\) недоспелых арбуза из \(24\). Вероятность того, что вторым также будет куплен недоспелый арбуз: \(\dfrac{2}{24}.\) Тогда искомая вероятность равна: \(P=\dfrac{3}{25}\cdot\dfrac{2}{24} =\dfrac{1}{100}=0{,}01.\) Ответ: \(0{,}01\).

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна \(\\0{,}4\). Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Вероятность того, что одна лампа перегорит: \(P=0{,}4.\) Вероятность того, что одна лампа не перегорит: \(1-0{,}4=0{,}6.\) Найдём вероятность того, что все три лампы перегорят: \(0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}4=0{,}064.\) Тогда вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна вероятности противоположного события: \(P=1-0{,}064=0{,}936.\) Ответ: \(0{,}936\).

В коробке \(\\17\) синих, \(\\22\) красных и \(\\12\) жёлтых карандашей. Случайным образом выбирают два карандаша. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один жёлтый карандаши.

Найдём общее число карандашей: \(17+22+12=51.\) Благоприятные исходы могут произойти двумя способами: сначала выбрать синий, затем жёлтый карандаш: \(\dfrac{17}{51}\cdot\dfrac{12}{50},\) или сначала выбрать жёлтый, затем синий карандаш: \(\dfrac{12}{51}\cdot\dfrac{17}{50}.\) Тогда вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один жёлтый карандаши, равна: \(P=\dfrac{17}{51}\cdot\dfrac{12}{50} +\dfrac{12}{51}\cdot\dfrac{17}{50}.\) Вычислим: \(P=\dfrac{204}{2550}+\dfrac{204}{2550} =\dfrac{408}{2550} =0{,}16.\) Ответ: \(0{,}16\).