Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$. На ребрах $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ отмечены точки $L$, $K$, $N$ и $M$ соответственно так, что четырехугольник $KLMN$ — трапеция с основанием $KL=3$ и $MN=2$. Известно, что $SK:KB=3:1$.
а) Докажите, что плоскость $KLM$ пересекает ребра $SC$ и $SD$ в их серединах.
б) Найдите высоту $SH$ пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой $H$, площадь основания равна $24$, а площадь сечения $KLMN=10$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На боковых рёбрах $SA$, $SC$ и $SD$ отмечены точки $K$, $L$ и $M$ соответственно так, что $SK:KA=SL:LC=2:1$ и $SM=MD$.
а) Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B$.
б) Найдите объём пирамиды $BAKMD$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $18$, а высота пирамиды $SABCD$ равна $7$.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ сторона основания $𝐴𝐵$ равна $4$, а боковое ребро $𝑆𝐴=8$. На ребрах $𝐶𝐷$ и $𝑆𝐶$ отмечены точки $𝑁$ и $𝐾$ соответственно, причем $𝐷𝑁:𝑁𝐶=𝑆𝐾:𝐾𝐶=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $𝐾𝑁$ и параллельна прямой $𝐵𝐶$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $𝐴𝐵$ в отношении $1:3$, считая от вершины $𝐴$.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝑆𝐴$ и $𝐾𝑁$.

В основании правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$ лежит треугольник $𝐴𝐵𝐶$. На прямой $𝐴𝐴_1$ отмечена точка $𝐷$ так, что $𝐴_{1}$ - середина $𝐴𝐷$. На прямой $𝐵_{1} 𝐶_{1}$ отмечена точка $𝐸$ так, что $𝐶_{1}$ - середина $𝐵_{1} 𝐸$.

а) Докажите, что прямые $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ и $𝐷𝐸$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $𝐴𝐵$ и $𝐷𝐸$, если $𝐴𝐵=4$, а $𝐴𝐴_{1} =1$.

Радиус основания конуса с вершиной $𝑆$ и центром основания $𝑂$ равен $5$, а его высота равна $\sqrt{51}$. Точка $𝑀$ - середина образующей $𝑆𝐴$ конуса, а точки $𝑁$ и $𝐵$ лежат на основании конуса, причем прямая $𝑀𝑁$ параллельна образующей конуса $𝑆𝐵$.
а) Докажите, что $\angle 𝐴𝑁𝑂$ - прямой.

б) Найдите угол между прямой $𝐵𝑀$ и плоскостью основания конуса, если $𝐴𝐵=8$.

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$, в которой $AB=9$, точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM=8$. Точка $K$ делит сторону $SB$ так, что $SK:KB=7:3$. Ребро $SA=\sqrt{43}$. Точки $M$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$. а) Докажите, что точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$.
б) Найдите площадь сечения $\alpha$.

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Основание высоты $SO$ этой пирамиды является серединой ребра $AB$.
а) Докажите, что $SA=SC$.
б) Найдите угол между плоскостями $SAC$ и $ABC$, если $AC=16,AB=20,SA=26$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна $8$, а боковое ребро $AA1$ равно $7$. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$, причем $CM=1$.

а) Точки $O$ и $O_1$ - центры окружностей, описанных около треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.

б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями $AD=5$ и $BC=4$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $4:1$, точка $K$ — середина $DD_1$.
а) Доказать, что плоскость $MCK$ параллельна стороне $BD$.
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD=60$, а $\angle CKM=90$.

Дана треугольная пирамида $SABC$. Высота $SO$ опускается на середину высоты $CH$ треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $SA^2-SB^2=AC^2-BC^2$.
б) Найдите объём пирамиды $SABC$, если $AB=25$, $BC=20$, $AC=5\sqrt{3}$, $SC=5\sqrt{10}$.

Точка $O$ - точка пересечения диагоналей грани $CDD_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $DA_1C_1$ пересекает диагональ $BD_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO$.
б) Точки $M$ и $N$ - середины ребер $AB$ и $AA_1$ соответственно. Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью $DA_1C_1$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N \ -$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1, \ KC = 3$.

Дана пирамида $𝑆𝐴𝐵𝐶$, в которой $𝑆𝐶=𝑆𝐵=𝐴𝐵=𝐴𝐶=\sqrt{17}$, $𝑆𝐴=𝐵𝐶=2\sqrt{5}$.

а) Докажите, что ребро $𝑆𝐴$ перпендикулярно ребру $𝐵𝐶$.

б) Найдите расстояние между ребрами $𝐵𝐶$ и $𝑆𝐴$.

В основании правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$ лежит треугольник $𝐴𝐵𝐶$. На прямой $𝐴𝐴_1$ отмечена точка $𝐷$ так, что $𝐴_{1}$ - середина $𝐴𝐷$. На прямой $𝐵_{1} 𝐶_{1}$ отмечена точка $𝐸$ так, что $𝐶_{1}$ - середина $𝐵_{1} 𝐸$.

а) Докажите,что прямые $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ и $𝐷𝐸$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝐴𝐵$ и $𝐷𝐸$, если $𝐴𝐵=4$, а $𝐴𝐴_{1} =1$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$, $AD=4$, $AA_1 =6$. Через точки $B_1$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $K$.

а) Докажите, что $K$ — середина $CC_1$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Дана четырехугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что$SA=SC=10\sqrt{2}$, $SB=20$ и$AC=10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.

Дан тетраэдр $ABCD$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на ребрах $AC$, $AD$, $DB$ и $BC$ соответственно, так, что четырехугольник $KLMN$  — квадрат, и $AK:KC=3:7$.

а) Докажите, что$AB:CD=3:7$.

б) Найдите объём пирамиды $CKLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$.

В правильной треугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶$ сторона основания $𝐴𝐵=5$, а боковое ребро $𝑆𝐴=3$. На ребрах $𝐴𝐵$ и $𝑆𝐶$ отмечены точки $𝐾$ и $𝑀$ соответственно, причем $𝐴𝐾:𝐾𝐵=𝑆𝑀:𝑀𝐶=1:4$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $𝐾𝑀$ и параллельна $𝑆𝐴$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $𝐴𝐶$ в отношении $1:4$, считая от вершины $𝐴$.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝑆𝐴$ и $𝐾𝑀$.

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$  — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная $PQ$.

а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ – центр основания $ABCD$, точка $M$ – середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=2:1$, $AB=6$ и $SO=3\sqrt{7}$.

а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK=1$, $KC=3$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABNM$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB = BM = AN = 5MN$.  
а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:4$, считая от вершины $S$.  
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
a) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка $K$ – середина ребра $A_1B_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$, $K$ и $C$.

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны $6$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 3MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны $12$.