Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Тела вращения (2 часть)

Радиус основания конуса с вершиной $𝑆$ и центром основания $𝑂$ равен $5$, а его высота равна $\sqrt{51}$. Точка $𝑀$ - середина образующей $𝑆𝐴$ конуса, а точки $𝑁$ и $𝐵$ лежат на основании конуса, причем прямая $𝑀𝑁$ параллельна образующей конуса $𝑆𝐵$.
а) Докажите, что $\angle 𝐴𝑁𝑂$ - прямой.

б) Найдите угол между прямой $𝐵𝑀$ и плоскостью основания конуса, если $𝐴𝐵=8$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=\sqrt{2}$, $CC_1=2$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$.
б) Найдите объём цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=20$, $BB_1=15$, $B_1C_1=21$.

Различные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$ так, что отрезок $AB$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.
а) Докажите, что $\cos\angle ASC+\cos\angle BSC=1{,}5$.
б) Найдите объём тетраэдра $SABC$, если $SC=1$, $\cos\angle ASC=\dfrac{2}{3}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=1$, $CC_1=2\sqrt{2}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=\sqrt{2}$, $CC_1=4$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если $AB=7$, $BB_1=24$, $B_1C_1=10$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=6$, $BB_1=15$, $B_1C_1=8$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=21$, $BB_1=12$, $B_1C_1=16$.

Через вершину $P$ прямого кругового конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках $C$ и $D$. Высота $PO$ конуса равна $5\sqrt{3}$, дуга $CD$ равна $90^\circ$, а хорда $CD$ равна $10$.
а) Докажите, что угол между плоскостью $PCD$ и плоскостью основания конуса равен $60^\circ$.
б) Определите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Через вершину $R$ прямого кругового конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках $M$ и $N$. Высота $RO$ конуса равна $6\sqrt{3}$, дуга $MN$ равна $90^\circ$, а хорда $MN$ равна $12$.
а) Докажите, что угол между плоскостью $RMN$ и плоскостью основания конуса равен $60^\circ$.
б) Определите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.