Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Пирамида (2 часть)

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$. На ребрах $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ отмечены точки $L$, $K$, $N$ и $M$ соответственно так, что четырехугольник $KLMN$ — трапеция с основанием $KL=3$ и $MN=2$. Известно, что $SK:KB=3:1$.
а) Докажите, что плоскость $KLM$ пересекает ребра $SC$ и $SD$ в их серединах.
б) Найдите высоту $SH$ пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой $H$, площадь основания равна $24$, а площадь сечения $KLMN=10$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На боковых рёбрах $SA$, $SC$ и $SD$ отмечены точки $K$, $L$ и $M$ соответственно так, что $SK:KA=SL:LC=2:1$ и $SM=MD$.
а) Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B$.
б) Найдите объём пирамиды $BAKMD$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $18$, а высота пирамиды $SABCD$ равна $7$.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ сторона основания $𝐴𝐵$ равна $4$, а боковое ребро $𝑆𝐴=8$. На ребрах $𝐶𝐷$ и $𝑆𝐶$ отмечены точки $𝑁$ и $𝐾$ соответственно, причем $𝐷𝑁:𝑁𝐶=𝑆𝐾:𝐾𝐶=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $𝐾𝑁$ и параллельна прямой $𝐵𝐶$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $𝐴𝐵$ в отношении $1:3$, считая от вершины $𝐴$.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝑆𝐴$ и $𝐾𝑁$.

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$, в которой $AB=9$, точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM=8$. Точка $K$ делит сторону $SB$ так, что $SK:KB=7:3$. Ребро $SA=\sqrt{43}$. Точки $M$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$. а) Докажите, что точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$.
б) Найдите площадь сечения $\alpha$.

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Основание высоты $SO$ этой пирамиды является серединой ребра $AB$.
а) Докажите, что $SA=SC$.
б) Найдите угол между плоскостями $SAC$ и $ABC$, если $AC=16,AB=20,SA=26$.

Дана треугольная пирамида $SABC$. Высота $SO$ опускается на середину высоты $CH$ треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $SA^2-SB^2=AC^2-BC^2$.
б) Найдите объём пирамиды $SABC$, если $AB=25$, $BC=20$, $AC=5\sqrt{3}$, $SC=5\sqrt{10}$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N \ -$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1, \ KC = 3$.

Дана пирамида $𝑆𝐴𝐵𝐶$, в которой $𝑆𝐶=𝑆𝐵=𝐴𝐵=𝐴𝐶=\sqrt{17}$, $𝑆𝐴=𝐵𝐶=2\sqrt{5}$.

а) Докажите, что ребро $𝑆𝐴$ перпендикулярно ребру $𝐵𝐶$.

б) Найдите расстояние между ребрами $𝐵𝐶$ и $𝑆𝐴$.

Дана четырехугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что$SA=SC=10\sqrt{2}$, $SB=20$ и$AC=10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.

Дан тетраэдр $ABCD$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на ребрах $AC$, $AD$, $DB$ и $BC$ соответственно, так, что четырехугольник $KLMN$  — квадрат, и $AK:KC=3:7$.

а) Докажите, что$AB:CD=3:7$.

б) Найдите объём пирамиды $CKLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$.

В правильной треугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶$ сторона основания $𝐴𝐵=5$, а боковое ребро $𝑆𝐴=3$. На ребрах $𝐴𝐵$ и $𝑆𝐶$ отмечены точки $𝐾$ и $𝑀$ соответственно, причем $𝐴𝐾:𝐾𝐵=𝑆𝑀:𝑀𝐶=1:4$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $𝐾𝑀$ и параллельна $𝑆𝐴$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $𝐴𝐶$ в отношении $1:4$, считая от вершины $𝐴$.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝑆𝐴$ и $𝐾𝑀$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ – центр основания $ABCD$, точка $M$ – середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=2:1$, $AB=6$ и $SO=3\sqrt{7}$.

а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK=1$, $KC=3$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABNM$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB = BM = AN = 5MN$.  
а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:4$, считая от вершины $S$.  
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
a) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и пересекает ребра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB = AN = BM = 3MN$.
a) Докажите, что $SM : MC = SN : ND = 1 : 2$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.

В пирамиде $SABCD$ с высотой $SA$ основанием является квадрат $ABCD$, точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
a) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит диагональ основания $AC$ в отношении $1:2$.
б) Найдите угол между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB = 2\sqrt{3}$, $SA = 6$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK=1$, $KC=3$.

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=6\sqrt{2}$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=1:2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $6$. Боковое ребро пирамиды равно $5$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $2AN=3NS$.
а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $BL:LC$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=4$, $SK:KB=1:3$.
а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3$. Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной $2$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$, $N$, делит ребро $CD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6$.