Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Прямоугольный параллелепипед

Точка $O$ - точка пересечения диагоналей грани $CDD_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $DA_1C_1$ пересекает диагональ $BD_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO$.
б) Точки $M$ и $N$ - середины ребер $AB$ и $AA_1$ соответственно. Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью $DA_1C_1$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$, $AD=4$, $AA_1 =6$. Через точки $B_1$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $K$.

а) Докажите, что $K$ — середина $CC_1$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 6\sqrt{2}$, $AD = 10$, $AA_1 = 16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E : EA = 5 : 3$ и $B_1F : FB = 5 : 11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
a) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.
б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если $B_1N=6$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и $B_1F:FB=5:11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=1:2$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:5$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=2$, $AD=6$, $AA_1=6$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.
б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $AA_1B_1$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=5$, $BC=3$, $AA_1=4$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$, считая от вершины $B_1$.

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=10$, $AB=12$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $AA_1=10$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и $B_1F:FB=3:7$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=4:1$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=2:3$. Известно, что $AB=6$, $AD=8$, $AA_1=10$.
а) Докажите, что плоскость $EFD_1$ делит ребро $B_1C_1$ на равные отрезки.
б) Найдите угол между плоскостью $EFD_1$ и плоскостью $AA_1B_1$.

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=2:1$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:2$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=9$, $AD=10$, $AA_1=15$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.
б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $BB_1C_1$.

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $AA_1$ взята точка $E$ так, что $AE=\dfrac{1}{4}$. На ребре $BC$ взята точка $F$ так, что $BF=\dfrac{2}{5}$. Через центр куба $O$ и точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Пусть $K$, $L$ и $M$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с прямыми $B_1C_1$, $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что $B_1K=\dfrac{6}{5}$, $B_1L=\dfrac{3}{2}$ и $B_1M=2$.
б) Найдите расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $\alpha$.

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $AA_1$ взята точка $E$ так, что $AE=\dfrac{1}{3}$. На ребре $BC$ взята точка $F$ так, что $BF=\dfrac{3}{5}$. Через центр куба $O$ и точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Пусть $K$, $L$ и $M$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с прямыми $B_1C_1$, $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что $B_1K=\dfrac{6}{5}$, $B_1L=2$ и $B_1M=1{,}5$.
б) Найдите расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $\alpha$.

На рёбрах $CD$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $12$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP=4$, $B_1Q=3$. Плоскость $(APQ)$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ делит ребро $CC_1$ пополам.
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $(APQ)$.