Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием

Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле $R=r_{пок}-\dfrac{r_{пок}-r_{экс}}{(K+1)^m}$, где $m=\dfrac{0,02K}{r_{пок}+0,1}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $29$, их средняя оценка равна $0{,}48$, а оценка экспертов равна $0{,}18$.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $558~МГц$. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500~м/с$ - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов, $f$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $12~м/с$. Ответ выразите в МГц.

Водолазный колокол, содержащий $\nu =2$ моля воздуха при давлении $p_{1} =1,75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=a\nu T\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$, где $\alpha =13,3\frac{Дж}{моль\cdot К}$ - постоянная, $T=300$ К - температура воздуха. Найдите какое давление $p_{2}$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15960$ Дж.

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле $t=\dfrac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полета будет не меньше 3,2 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_{0}=16$м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10~м/с^{2}$.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi =\omega t+\frac{\beta t^{2}}{2}$, где $t$ - время в минутах, $\omega =15^{\circ } /мин$ - начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =6^{\circ } /мин^{2}$ - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебедки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^{\circ }$. Ответ дайте в минутах.

Зависимость объема спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия - монополиста от цены $p$ (тыс. руб.) задаётся формулой $q = 65 - 5$ p. Выручка предприятия за месяц $r$ (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p) = pq$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ cоставит не менее $150$ тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Сила тока в цепи $I$ (в A) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\dfrac{U}{R}$, где $U$ - напряжение в вольтах, $R$ - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2{,}5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ – начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ – время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ – период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа $156$ мг. Период его полураспада составляет $8$ минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $39$ мг.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0=24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=3$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 9000~км/ч^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $120~км/ч$.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением: $T=T_0+bt+at^2$, где $t$ - время в минутах, $T_0=1450~K$, $a=-30~K/мин^2$, $b=180~K/мин$. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1600~К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$  – мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5, \! 7 \cdot 10^{-8}$  $($Вт/м$^2 \cdot$  К$^4)$ – постоянная, $S$ – площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ – температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{11}{60} \cdot 10^{20}$ м$^2$, а мощность ее излучения равна $1, \! 672 \cdot 10^{29}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=160$ Гц – частота исходного сигнала, $c$ – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=8$ м/с и $v=11$ м/с – скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна $170$ Гц? Ответ дайте в м/с.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t)=m_{0}\cdot 2^{−t/T}$, где $m_{0}$ - начальная масса изотопа, $t$ - время, прошедшее от начального момента, $T$ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $96$ мг. Период его полураспада составляет $3$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $3$ мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ - начальная масса изотопа, $t$ - время, прошедшее от начального момента, $T$ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m_0 = 50$ мг. Период его полураспада $T= 5$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $12,5$ мг.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=at^2+bt+H_0$, где $H_0=8$ м - начальный уровень воды, $a=\frac{1}{98}\frac{м}{мин^2}$ и $b=-\frac{4}{7}\frac{м}{мин}$ - постоянные, $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ - начальная масса изотопа, $t$ - время , прошедшее от начального момента, $T$ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $80$ мг. Период его полураспада составляет $2$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5$ мг.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды, $\sigma =5{,}7\cdot 10^{-8}\frac{Вт}{м^2\cdot К^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (см$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{16}\cdot 10^{20}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $9{,}12\cdot 10^{25}$ Вт. Найдите температуру этой звезды. Дайте ответ в кельвинах.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле $T(t) =T_0 +bt+at^{2}$, где $t$ - время в минутах, $T_{0} =1300~К$, $a=-\frac{14}{3}~К/мин^{2}$, $b=98~К/мин$. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1720~К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} =170$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_{0}\cdot \frac{c+u}{c-v}$ (Гц), где $c$ - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), $u=12$ м/с и $v=6$ м/с - скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $с$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $f$ будет не менее $180$ Гц?

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=6\cdot 10^{−6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=8\cdot 10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_{0} =34$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=aRC\log_{2}\frac{U_{0}}{U}(с)$, где $a=0,8$ - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $76,8$ с. Ответ дайте в киловольтах.

Груз массой $0,16$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_{0}\cos\frac{2\pi t}{T}$, где $t$ - время с момента начала колебаний, $T=2$ с - период колебаний, $v_{0} =1,5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\frac{mv^{2}}{2}$, где $m$ - масса груза в килограммах, $v$ - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $20$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Водолазный колокол, содержащий $\nu=2$ моля воздуха при давлении $p_1=1,6$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $А=a\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a=6,2\frac{Дж}{моль\cdot К}$ - постоянная, $Т= 300$ К - температура воздуха. Найдите какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $11160$ Дж.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала $f_0=120$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $c$ $–$ скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=6$ и $v=7$ $–$ скорость приемника и источника относительной среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала приемника $f$ будет не менее $125$ Гц?

Высота над землей подброшенного вверх мячика меняется по закону $h(t)=1{,}2+14t-5t^2$, где $h$ $–$ высота в метрах, $t$ $–$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте менее $6$ метров?