Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L = \dfrac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha$ (м), где $v_0 = 22$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с²). При каком наименьшем значении угла ($\alpha$ в градусах) мячик перелетит реку шириной $24{,}2$ м?

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L = \dfrac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha$ (м), где $v_0 = 24$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с²). При каком наименьшем значении угла ($\alpha$ в градусах) мячик перелетит реку шириной $57{,}6$ м?

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p = 720$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v = 370$ руб., постоянные расходы предприятия $f = 800\,000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q) = q(p - v) - f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $250\,000$ руб.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$, где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), $r = 2{,}7$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $15\%$ от силы тока короткого замыкания $I_{кз} = \dfrac{\varepsilon}{r}$? Ответ дайте в омах.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$, где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), $r = 3$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_{кз} = \dfrac{\varepsilon}{r}$? Ответ дайте в омах.

При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 15$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ)$, где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5} \, (^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $6{,}3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 8$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ)$, где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5} \, (^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $2{,}4$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведёрка в м/с, $L$ — длина верёвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна $115{,}6$ см? Ответ дайте в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведёрка в м/с, $L$ — длина верёвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна $44{,}1$ см? Ответ дайте в м/с.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $I_n$, оперативности $O_p$, объективности публикаций $T_r$, а также качества сайта $Q$. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 5. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций — в пятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $R = \dfrac{5I_n + O_p + 2T_r + Q}{A}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $I_n$, оперативности $O_p$, объективности публикаций $T_r$, а также качества сайта $Q$. Каждый отдельный показатель — целое число от 0 до 4. Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $R = \dfrac{4I_n + O_p + 3T_r + Q}{A}$. Издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг $2$. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \alpha \rho g r^3$, где $\alpha = 4{,}2$ — постоянная, $r$ — радиус аппарата в метрах, $\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $141\,750$ Н? Ответ дайте в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho g l^3$, где $l$ — длина ребра куба в метрах, $\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9{,}8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $264\,600$ Н? Ответ дайте в метрах.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 4{,}7$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \dfrac{m}{m + M} v \cos \alpha$ (м/с), где $m = 64$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 500$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $\dfrac{4}{15}$ м/с?

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 3{,}5$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \dfrac{m}{m + M} v \cos \alpha$ (м/с), где $m = 60$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 690$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $0{,}14$ м/с?

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega) = \dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}$, где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$), $A_0$ — постоянный параметр, $\omega_p = 225 \, c^{-1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $56{,}25\%$. Ответ дайте в $c^{-1}$.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega) = \dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}$, где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$), $A_0$ — постоянный параметр, $\omega_p = 294 \, c^{-1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $22{,}5\%$. Ответ дайте в $c^{-1}$.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $36$ метров. Ответ дайте в секундах.

При стрельбе из лука начальная скорость полёта стрелы $v_0$ (в м/с) и дальность полёта $L$ (в метрах) связаны формулой: $L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$, где $g = 10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения, а $\alpha$ — угол вылета стрелы по отношению к горизонту (в градусах). Найди начальную скорость $v_0$, если $L = 26{,}45$ м, а $\alpha = 15^\circ$.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_0=19$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=2$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $84$ м. Ответ выразите в секундах.

Два тела массой $m=58$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением $Q=mv^2\sin^2\alpha$. Под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее $1450$ джоулей?