Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием

К источнику с ЭДС $\varepsilon =180$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $170$ В? Ответ дайте в омах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=at^2+bt+H_0$, где $H_0=3$ м - начальный уровень воды, $a= 1/588~м/мин^2$ и $b=-1/7~м/мин$ - постоянные, $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k=6,4\cdot 10^6$ Па $\cdot$ м$^5$, где $p$ —  давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа (в м$^3$), $k=\frac{5}{3}$. Найдите, какой объём $V$ (в м$^3$) будет занимать газ при давлении $p$, равном $2\cdot 10^5$ Па.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ - начальная масса изотопа, $t$ - время, прошедшее от начального момента, $T$ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа составляла $64$ мг. Период его полураспада составляет $1$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $1$ мг.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1} =72$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление дается формулой $R_{общ} =\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} +R_{2}}$ Ом, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $8$ Ом. Ответ выразите в омах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 9000~км/ч^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $120~км/ч$.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=192$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $8$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $f_0 = 130$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=6$ м/с и $v=13$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет равна $140$ Гц? Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=130$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=16$ м/с и $v=15$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $135$ Гц?

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^{4}\frac{Вт}{м^{2} \cdot К^{4}}$, где $P$ - мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma =5,7\cdot 10^{−8}$ - постоянная, $S$ - площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ - температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{18} \cdot 10^{21}~ м^{2}$, мощность ее излучения равна $4,104 \cdot 10^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связанны соотношением $p_{1} V_{1}^{1,4}=p_{2} V_{2}^{1,4}$, где $p_{1}$ и $p_{2}$ - давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_{1}$ и $V_{2}$ - объем газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объем газа равен $294,4$ л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало $128$ атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Сила тока в цепи $I$ (в A) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\frac{U}{R}$, где $U$ - напряжение в вольтах, $R$ - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2,5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Водолазный колокол, содержащий $\nu =2$ моля воздуха при давлении $p_{1} =1,75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=a\nu T\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$, где $\alpha =13,3\frac{Дж}{моль\cdot К}$ - постоянная, $T=300$ К $-$ температура воздуха. Найдите какое давление $p_{2}$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15960$ Дж.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $h( t) =2+13t-5t^{2}$, где $h$ - высота в метрах, $t$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $8$ метров?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $247$ МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500$ м/с – скорость звука в воде, $f_0$ – частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ -  частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемников (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать $18$ м/с.

К источнику с ЭДС $\varepsilon =130$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаeтся формулой $U=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $120$ В? Ответ выразите в омах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0=1380$ К, $a=−15$ К/мин$^2$, $b=165$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1800$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a~км/ч^{2}$. Скорость $v$ в конце пути вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$-пройденный автомобилем путь в км. Определите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $250$ метров, приобрести скорость $60~км/ч$. Ответ выразите в $км/ч^{2}$.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=20$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $15$ до $40$ см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана - в пределах от $100$ до $120$ см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_{1}} +\dfrac{1}{d_{2}} =\dfrac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Наблюдатель, находящийся на высоте $h$ м над поверхностью земли, видит линию горизонта на расстоянии $l$ км, которое можно найти по формуле $l=\sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R-6400$ км - радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $64$ километра? Ответ дайте в метрах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi =\omega t+\dfrac{\beta t^{2}}{2}$, где $t$ - время в минутах, $\omega =15^{\circ } /мин$ - начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =6^{\circ } /мин^{2}$ - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебедки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^{\circ }$. Ответ дайте в минутах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $558~МГц$. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v=c\cdot\dfrac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500~м/с$ - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов, $f$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $12~м/с$. Ответ выразите в МГц.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = at^2 + bt + H_0$, где $H_0 = 6,25~м$ - начальный уровень воды, $a =\dfrac{1}{81}~м/мин^2$, и $b =-\dfrac{5}{9}~м/мин$ - постоянные, $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.