Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием, Дробно-линейная зависимость

Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле $R=r_{пок}-\dfrac{r_{пок}-r_{экс}}{(K+1)^m}$, где $m=\dfrac{0,02K}{r_{пок}+0,1}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $29$, их средняя оценка равна $0{,}48$, а оценка экспертов равна $0{,}18$.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $558~МГц$. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500~м/с$ - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов, $f$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $12~м/с$. Ответ выразите в МГц.

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле $t=\dfrac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полета будет не меньше 3,2 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_{0}=16$м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10~м/с^{2}$.

Сила тока в цепи $I$ (в A) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\dfrac{U}{R}$, где $U$ - напряжение в вольтах, $R$ - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2{,}5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=160$ Гц – частота исходного сигнала, $c$ – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=8$ м/с и $v=11$ м/с – скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна $170$ Гц? Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} =170$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_{0}\cdot \frac{c+u}{c-v}$ (Гц), где $c$ - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), $u=12$ м/с и $v=6$ м/с - скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $с$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $f$ будет не менее $180$ Гц?

Груз массой $0,16$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_{0}\cos\frac{2\pi t}{T}$, где $t$ - время с момента начала колебаний, $T=2$ с - период колебаний, $v_{0} =1,5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\frac{mv^{2}}{2}$, где $m$ - масса груза в килограммах, $v$ - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $20$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала $f_0=120$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $c$ $–$ скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=6$ и $v=7$ $–$ скорость приемника и источника относительной среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала приемника $f$ будет не менее $125$ Гц?

К источнику с ЭДС $\varepsilon =180$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $170$ В? Ответ дайте в омах.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1} =72$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление дается формулой $R_{общ} =\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} +R_{2}}$ Ом, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $8$ Ом. Ответ выразите в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=192$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $8$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $f_0 = 130$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=6$ м/с и $v=13$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет равна $140$ Гц? Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=130$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=16$ м/с и $v=15$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $135$ Гц?

Сила тока в цепи $I$ (в A) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\frac{U}{R}$, где $U$ - напряжение в вольтах, $R$ - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2,5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $247$ МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500$ м/с – скорость звука в воде, $f_0$ – частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ -  частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемников (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать $18$ м/с.

К источнику с ЭДС $\varepsilon =130$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаeтся формулой $U=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $120$ В? Ответ выразите в омах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=20$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $15$ до $40$ см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана - в пределах от $100$ до $120$ см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_{1}} +\dfrac{1}{d_{2}} =\dfrac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $558~МГц$. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v=c\cdot\dfrac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500~м/с$ - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов, $f$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $12~м/с$. Ответ выразите в МГц.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг $R$ новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от $1$ до $6$. Аналитик, составляющий рейтинг считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность — вчетверо дороже, чем оперативность. В результате формула имеет вид: $R=\dfrac{4In+Op+2Tr}{A}$ . Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг $1$.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой $749$ МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
$\nu = c \cdot \dfrac{f - f_0}{f + f_0}$, где $c = 1500$ м/с – скорость звука в воде, $f_0 = 749$ МГц – частота испускаемого сигнала, $f$ – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью $\nu = 2$ м/с.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=72$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$ Ом и $R_2$ Ом их общее сопротивление $R_{общ}=\dfrac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $18$ Ом. Ответ выразите в Ом.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1 = 96$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$ Ом и $R_2$ Ом их общее сопротивление задается формулой $R_{общ} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $16$ Ом. Ответ выразите в омах.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  $R_1=84$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ их общее сопротивление даётся формулой $R_{общ}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $14$ Ом. Ответ выразите в омах.