Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием, Дробно-линейная зависимость

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние длины $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана – в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon =65$ В и внутренним сопротивлением $r=0,5$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой $U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком наименьшем значении в вольтах сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $60$ В? Ответ выразите в омах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $217$ МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется $v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $с=1500$ м/с - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ - частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать $12$ м/с. Ответ выразите в МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала. регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=170$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $c$ - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=11$ м/с и $v=13$ м/с – скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $180$ Гц?

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v) = \dfrac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v) = \dfrac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$м/с. Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 14$ м/с и $v = 10$ м/с— скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет ровно $150$ Гц?

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение$\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Сила тока $I ($в $A)$ в электросети вычисляется по закону Ома$: I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ — напряжение электросети (в В), $R$ — сопротивление подключаемого электроприбора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает $5$ А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением $220$ В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_{1} = 36$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого $R_{2}$(в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R = \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $20$ Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 180$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $170$ В? Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0} = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f = \dfrac{f_{0}}{1 - \frac{v}{c}}$, где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $299$ МГц. Скорость погружения батискафа $v ($в м/с) вычисляется по формуле $v = c \cdot \dfrac{f - f_{0}}{f + f_{0}}$, где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_{0}$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна $5$ м/с. Ответ дайте в МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v ($в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f ($в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $f_{0} = 160$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 8$ м/с и $v = 11$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна $170$ Гц? Ответ дайте в м/с.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием
$f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким?

Сила тока $I$ (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R},$ где $U = 220$ В — напряжение, $R$ — сопротивление прибора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает $8{,}8$ А. Определите наименьшее сопротивление прибора, при котором сеть продолжает работать.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой $R_1 = 21$ Ом. Параллельно с ней подключают тостер с сопротивлением $R_2$ (в Ом). Общее сопротивление при параллельном соединении: $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$Для нормальной работы сети общее сопротивление должно быть не меньше $18$ Ом. Найдите наименьшее возможное $R_2$.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 130$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом подключают нагрузку $R$ (в Ом). Напряжение на нагрузке вычисляется по формуле $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}.$ При каком $R$ напряжение будет равно $120$ В? Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 192$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f = \dfrac{f_0}{1 - \dfrac{v}{c}},$ где $c = 300$ м/с — скорость звука. Человек различает сигналы, если они отличаются не менее чем на $8$ Гц. Определите минимальную скорость $v$, при которой сигналы будут различимы.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $f_0 = 185$ МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v = c \cdot \dfrac{f - f_0}{f + f_0},$ где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f$ — частота отражённого сигнала (в МГц). Определите частоту $f$, если $v = 20$ м/с. Ответ дайте в МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $f_0 = 140$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 15$ м/с и $v = 14$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости $c$ частота сигнала в приёмнике будет равна $150$ Гц?

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 36$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $30$ до $50$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ до $180$ см. Изображение будет чётким, если $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%,$ где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет $15 \%$, если температура холодильника $T_2 = 323 \, \text{К}$? Ответ дайте в кельвинах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%$ где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет $25 \%$, если температура холодильника $T_2 = 336 \, \text{К}$? Ответ дайте в кельвинах.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 3{,}6 \, \text{м/с}$ под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \frac{m}{m + M} v \cos \alpha \, (\text{м/с}),$ где $m = 75 \, \text{кг}$ — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 375 \, \text{кг}$ — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $0{,}3 \, \text{м/с}$?