Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием, Дробно-линейная зависимость

Двигаясь со скоростью $v = 4 \, \text{м/с}$, трактор тащит сани с силой $F = 90 \, \text{кН}$, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N = Fv \cos \alpha$. Найдите, при каком угле $\alpha$ (в градусах) эта мощность будет равна $180 \, \text{кВт}$ (кВт — это $\frac{\text{кН} \cdot \text{м}}{\text{с}}$).

Мяч бросили под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = \dfrac{2v_0 \sin \alpha}{g}$. При каком значении угла $\alpha$ (в градусах) время полёта составит $3$ секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_0 = 30$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%$, где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет равен $20\%$, если температура холодильника $T_2 = 330$ К? Ответ дайте в кельвинах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%$, где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет равен $41\%$, если температура холодильника $T_2 = 295$ К? Ответ дайте в кельвинах.

Автомобиль, масса которого равна $m = 2250$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $t$ секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь $S = 600$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = \dfrac{2mS}{t^2}$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила $F$, приложенная к автомобилю, не меньше $18\,750$ Н. Ответ дайте в секундах.

Автомобиль, масса которого равна $m = 2310$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $t$ секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь $S = 70$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = \dfrac{2mS}{t^2}$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила $F$, приложенная к автомобилю, не меньше $6600$ Н. Ответ дайте в секундах.

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 520$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d \sin \varphi = k \lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим $2080$ нм?

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 620$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d \sin \varphi = k \lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решётке с периодом, не превосходящим $3720$ нм?

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 150$ В и внутренним сопротивлением $r = 1{,}2$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $132$ В? Ответ дайте в омах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 75$ В и внутренним сопротивлением $r = 0{,}8$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $63$ В? Ответ дайте в омах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $8{,}8$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $44$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p = 720$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v = 370$ руб., постоянные расходы предприятия $f = 800\,000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q) = q(p - v) - f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $250\,000$ руб.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$, где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), $r = 2{,}7$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $15\%$ от силы тока короткого замыкания $I_{кз} = \dfrac{\varepsilon}{r}$? Ответ дайте в омах.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$, где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), $r = 3$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_{кз} = \dfrac{\varepsilon}{r}$? Ответ дайте в омах.

При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 15$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ)$, где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5} \, (^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $6{,}3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 8$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ)$, где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5} \, (^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $2{,}4$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $I_n$, оперативности $O_p$, объективности публикаций $T_r$, а также качества сайта $Q$. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 5. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций — в пятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $R = \dfrac{5I_n + O_p + 2T_r + Q}{A}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $I_n$, оперативности $O_p$, объективности публикаций $T_r$, а также качества сайта $Q$. Каждый отдельный показатель — целое число от 0 до 4. Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $R = \dfrac{4I_n + O_p + 3T_r + Q}{A}$. Издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг $2$. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 4{,}7$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \dfrac{m}{m + M} v \cos \alpha$ (м/с), где $m = 64$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 500$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $\dfrac{4}{15}$ м/с?

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 3{,}5$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \dfrac{m}{m + M} v \cos \alpha$ (м/с), где $m = 60$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 690$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $0{,}14$ м/с?

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega) = \dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}$, где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$), $A_0$ — постоянный параметр, $\omega_p = 225 \, c^{-1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $56{,}25\%$. Ответ дайте в $c^{-1}$.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega) = \dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}$, где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$), $A_0$ — постоянный параметр, $\omega_p = 294 \, c^{-1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $22{,}5\%$. Ответ дайте в $c^{-1}$.